Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho đường tròn $(C)$ tâm $O$, bán kính bằng 1. Gọi $T$ là tập hợp tất cả các điểm $M\left(x;y\right)$, trong đó $x,y\in \mathbb{Z}$, sao cho từ $M$ kẻ được 2 tiếp tuyến $MA,MB$ đến $(C)$ ($A,B$ là các tiếp điểm) thỏa mãn $\widehat{AMB}\ge 60^{\circ }$. Chọn ngẫu nhiên 2 điểm trong $T$. Biết xác suất để đường thẳng đi qua 2 điểm được chọn song song với trục $Ox$ bằng $\frac{1}{a}$. Tính $a^2$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ M kẻ được 2 tiếp tuyến đến (C) và góc AMB ≥ 60°. Ta có sin(∠AMB/2) = R/OM = 1/OM, nên ∠AMB ≥ 60° ⟺ 1/OM ≥ sin30° = 1/2 ⟺ OM ≤ 2. Đồng thời để kẻ được 2 tiếp tuyến phân biệt cần OM > 1. Vậy T là các điểm nguyên 1 < x²+y² ≤ 4. Các điểm nguyên với x²+y² ≤ 4: (0,0), (±1,0), (0,±1), (±1,±1), (±2,0), (0,±2) — tổng 13 điểm. Loại 5 điểm có OM ≤ 1 (tâm O và 4 điểm trên đường tròn), còn lại T = {(±1,±1), (±2,0), (0,±2)} gồm 8 điểm. Số cách chọn 2 điểm: C(8,2) = 28. Cặp điểm có đường thẳng song song Ox (cùng tung độ): y = 1: (−1,1),(1,1) → 1 cặp; y = −1: 1 cặp; y = 0: (−2,0),(2,0) → 1 cặp. Tổng 3 cặp. Xác suất = 3/28 = 1/a ⟹ a = 28/3 ⟹ a² = 784/9.