Cho hình lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có tất cả các cạnh bằng $a$, $\widehat{A^{\prime }AB}=120^{\circ }$, $\widehat{A^{\prime }AC}=60^{\circ }$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$; $N$ là điểm thỏa mãn $\overrightarrow{BN}=\frac{2}{3}\overrightarrow{B{B}^{\prime }}$.
[Hình cần kiểm tra lại: p3_f2]

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $\overrightarrow{AB}=\vec{b},\overrightarrow{AC}=\vec{c},\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\vec{u}$ với $|\vec{b}|=|\vec{c}|=|\vec{u}|=a$, $\vec{b}\cdot \vec{u}=a^2\cos 120^{\circ }=-\frac{a^2}{2}$, $\vec{c}\cdot \vec{u}=a^2\cos 60^{\circ }=\frac{a^2}{2}$.

a) $\overrightarrow{A^{\prime }M}=\frac{\vec{b}+\vec{c}}{2}-\vec{u}$ nên $x=y=\frac{1}{2},z=-1$, khi đó $x+y=1\ne z=-1$ → sai.

b) $\overrightarrow{NB}=-\frac{2}{3}\overrightarrow{B{B}^{\prime }}$, $\overrightarrow{N{B}^{\prime }}=\frac{1}{3}\overrightarrow{B{B}^{\prime }}$ nên $-2\overrightarrow{N{B}^{\prime }}=-\frac{2}{3}\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\overrightarrow{NB}$ → đúng.

c) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\vec{b}+\vec{u}=\overrightarrow{A{B}^{\prime }}$ → đúng.

d) $\overrightarrow{C^{\prime }N}=\vec{b}-\vec{c}-\frac{1}{3}\vec{u}$. Khi đó
$\overrightarrow{A^{\prime }M}\cdot \overrightarrow{C^{\prime }N}=\frac{1}{2}(\vec{b}+\vec{c})\cdot (\vec{b}-\vec{c})-\frac{1}{6}(\vec{b}+\vec{c})\cdot \vec{u}-\vec{u}\cdot \vec{b}+\vec{u}\cdot \vec{c}+\frac{1}{3}|\vec{u}{|}^2$.
Số hạng đầu bằng $\frac{1}{2}(|\vec{b}{|}^2-|\vec{c}{|}^2)=0$; $\frac{1}{6}(\vec{b}\cdot \vec{u}+\vec{c}\cdot \vec{u})=0$. Còn lại: $\frac{a^2}{2}+\frac{a^2}{2}+\frac{a^2}{3}=\frac{4a^2}{3}$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{A^{\prime }M}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$ nên $x=y=\frac{1}{2},z=-1$, do đó $x+y=1\ne -1=z$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{NB}=-\frac{2}{3}\overrightarrow{B{B}^{\prime }}$ và $\overrightarrow{N{B}^{\prime }}=\frac{1}{3}\overrightarrow{B{B}^{\prime }}$, nên $-2\overrightarrow{N{B}^{\prime }}=\overrightarrow{NB}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{A{B}^{\prime }}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với $\overrightarrow{C^{\prime }N}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}-\frac{1}{3}\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$, tính tích có hướng có dụng các tích vô hướng $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{A{A}^{\prime }}=-\frac{a^2}{2}$, $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\frac{a^2}{2}$, được $\overrightarrow{A^{\prime }M}\cdot \overrightarrow{C^{\prime }N}=\frac{a^2}{2}+\frac{a^2}{2}+\frac{a^2}{3}=\frac{4a^2}{3}$.