Cho hàm số $y=f(x)=2019\ln \left(e^{\frac{x}{2019}}+\sqrt{e}\right)$. Tính giá trị biểu thức $A=f^{\prime }(1)+f^{\prime }(2)+\cdots +f^{\prime }(2018)$.

Ta có đạo hàm của hàm số:
$f^{\prime }(x)=2019\cdot \frac{\frac{1}{2019}{e}^{\frac{x}{2019}}}{e^{\frac{x}{2019}}+\sqrt{e}}=\frac{e^{\frac{x}{2019}}}{e^{\frac{x}{2019}}+e^{1/2}}$.
Chia cả tử và mẫu cho $e^{1/2}$ ta được $f^{\prime }(x)=\frac{e^{\frac{x}{2019}-\frac{1}{2}}}{e^{\frac{x}{2019}-\frac{1}{2}}+1}$.
Xét hai giá trị $x_1,x_2$ sao cho $x_1+x_2=2019$. Khi đó:
$f^{\prime }(x_1)+f^{\prime }(x_2)=\frac{e^u}{e^u+1}+\frac{e^{-u}}{e^{-u}+1}=\frac{e^u}{e^u+1}+\frac{1}{1+e^u}=1$, với $u=\frac{x_1}{2019}-\frac{1}{2}$.
Do đó:
$f^{\prime }(1)+f^{\prime }(2018)=1$
$f^{\prime }(2)+f^{\prime }(2017)=1$
$\dots$
$f^{\prime }(1009)+f^{\prime }(1010)=1$.
Có đúng 1009 cặp có tổng bằng 1, do đó $A=1009\cdot 1=1009$. Chọn B.