Cho hàm số $y=f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^3+a{x}^2+bx+1& \text{khi }x\le 0\\ m{x}^2+nx+p& \text{khi }x>0\end{array}$

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai. Với $x=1>0$ thì $f(x)=m{x}^2+nx+p$ là hàm đa thức nên liên tục tại $x=1$.
b) Đúng. $f(0)=1$; ${\lim }_{x\to 0^{-}}f(x)=1$; ${\lim }_{x\to 0^{+}}f(x)=p=1$. Hàm liên tục tại $0$ và liên tục trên từng khoảng, vậy liên tục trên $\mathbb{R}$.
c) Sai. Khi $x\to -\infty$: $f(x)\sim x^3$ và $\sqrt{2x^6-3x^5+1}\sim \sqrt{2}|x{|}^3=-\sqrt{2}{x}^3$ (vì $x<0$). Giới hạn bằng $-\frac{\sqrt{2}}{2}$, không phải $\frac{\sqrt{2}}{2}$.
d) Đúng. Từ $m+2n+1000p=0$ suy ra $n=-\frac{m+1000p}{2}$, đỉnh parabol $g(x)=m{x}^2+nx+p$ là $x^{\ast }=-\frac{n}{2m}=\frac{m+1000p}{4m}$. Xét các trường hợp:
- $mp<0$: $g(0^{+})=p$ và $g\to \pm \infty$ trái dấu nên có nghiệm dương.
- $m,p>0$: $x^{\ast }>0$ và $g(x^{\ast })=p-\frac{(m+1000p{)}^2}{16m}$. Vì $(m+1000p{)}^2\ge 4000mp>16mp$ nên $g(x^{\ast })<0$, mà $g(0^{+})=p>0$ ⇒ có nghiệm dương (định lý giá trị trung gian).
- $m,p<0$: $x^{\ast }=\frac{m+1000p}{4m}>0$ và $g(x^{\ast })=p+\frac{(m+1000p{)}^2}{16|m|}>0$ (do $(m+1000p{)}^2\ge 4000|mp|>16|mp|$), mà $g(0^{+})=p<0$, $g\to -\infty$ ⇒ có nghiệm dương.
Vậy trong mọi trường hợp $f(x)=0$ có nghiệm dương; khẳng định đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tại $x=1>0$, $f(x)=m{x}^2+nx+p$ là hàm đa thức nên liên tục tại $x=1$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với $p=1$: $f(0)=1$, ${\lim }_{x\to 0^{+}}f(x)=1={\lim }_{x\to 0^{-}}f(x)$, nên hàm liên tục tại $0$ và trên $\mathbb{R}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Khi $x\to -\infty$, $f(x)\sim x^3$, mẫu $\sim \sqrt{2}|x{|}^3=-\sqrt{2}{x}^3$, nên giới hạn bằng $-\frac{\sqrt{2}}{2}$, không phải $\frac{\sqrt{2}}{2}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với $n=-\frac{m+1000p}{2}$, xét $g(x)=m{x}^2+nx+p$ trên $(0,\infty )$: nếu $mp<0$ thì $g(0^{+})=p$ và $g$ vô cực trái dấu nên có nghiệm dương; nếu $m,p>0$ thì đỉnh $x^{\ast }=\frac{m+1000p}{4m}>0$ và $g(x^{\ast })=p-\frac{(m+1000p{)}^2}{16m}<0$ (do $(m+1000p{)}^2\ge 4000mp>16mp$) nên có nghiệm dương; nếu $m,p<0$ thì $g(x^{\ast })>0$ với $g(0^{+})<0$, $g\to -\infty$ nên cũng có nghiệm dương. Vậy khẳng định đúng.