Với mỗi số nguyên dương $n$, lấy $n+6$ điểm cách đều nhau trên đường tròn. Nối mỗi điểm với điểm cách nó hai điểm trên đường tròn đó để tạo thành các ngôi sao như Hình 1. Gọi $u_n$ là số đo góc ở một đỉnh (tính theo đơn vị radian) của mỗi ngôi sao thì ta được dãy số. Biết $u_{24}=\frac{a}{b}.\pi$ với $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản và $a\in \mathbb{N}$, tính $3a+2b$.

(AI giải đề cho tôi)
Ngôi sao có $m=n+6$ đỉnh cách đều trên đường tròn, mỗi đỉnh nối với hai đỉnh cách nó 2 đỉnh. Xét góc ở đỉnh $A$, tạo bởi hai dây nối tới hai đỉnh $B,C$ ở hai phía (mỗi đỉnh cách $A$ hai điểm). Góc $BAC$ là góc nội tiếp chắn cung $BC$ không chứa $A$. Cung nhỏ giữa hai đỉnh kề nhau có số đo $\frac{2\pi }{m}$, nên cung $BC$ không chứa $A$ gồm $m-4$ cung nhỏ, số đo $(m-4)\cdot \frac{2\pi }{m}$. Vậy $u_n=\frac{1}{2}(m-4)\cdot \frac{2\pi }{m}=\pi -\frac{4\pi }{n+6}$. Kiểm tra với $n=1$ ($m=7$, sao 7 cánh): $u_1=\pi -\frac{4\pi }{7}=\frac{3\pi }{7}$, hợp lý. Với $n=24$, $m=30$: $u_{24}=\pi -\frac{4\pi }{30}=\pi -\frac{2\pi }{15}=\frac{13\pi }{15}$, tức $a=13,b=15$ (tối giản, $\gcd (13,15)=1$). Vậy $3a+2b=39+30=69$.