Cho tứ diện $SABC$ và $M$ là một điểm di động, nằm bên trong tam giác $\Delta ABC$. Qua $M$ kẻ các đường thẳng song song với $SA,SB,SC$ cắt các mặt phẳng tương ứng $(SBC),(SAC),(SAB)$ lần lượt tại $A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime }$. Khi đó giá trị lớn nhất của biểu thức $$T=\frac{M{A}^{\prime }}{SA}+\frac{M{B}^{\prime }}{SB}+\frac{M{C}^{\prime }}{SC}+\frac{M{A}^{\prime }}{SA}.\frac{M{B}^{\prime }}{SB}.\frac{M{C}^{\prime }}{SC}$$ là bao nhiêu? (làm tròn đến hàng phần trăm).

(AI giải đề cho tôi)
Đặt tọa độ trọng tâm của $M$ đối với tam giác $ABC$: $\vec{M}=x\vec{A}+y\vec{B}+z\vec{C}$ với $x,y,z>0$, $x+y+z=1$.

Qua $M$ kẻ đường song song $SA$ cắt $(SBC)$ tại $A^{\prime }$. Vì $M{A}^{\prime }\parallel SA$, phép vị tự tâm... xét hình chiếu: do $A^{\prime }$ thuộc $(SBC)$ nên $A^{\prime }=\frac{y\vec{B}+z\vec{C}}{y+z}$ (với hệ số chuẩn hóa $\frac{1}{y+z}$), và $\overrightarrow{A^{\prime }}-\vec{M}=\frac{y\vec{B}+z\vec{C}}{y+z}-(x\vec{A}+y\vec{B}+z\vec{C})$. Tính trực tiếp: $\overrightarrow{A^{\prime }}=\frac{y\vec{B}+z\vec{C}}{y+z}$, khi đó $\overrightarrow{A^{\prime }}-\vec{M}=\frac{y\vec{B}+z\vec{C}}{y+z}-x\vec{A}-y\vec{B}-z\vec{C}=x\left(\frac{y\vec{B}+z\vec{C}}{y+z}-\vec{A}\right)=x(\vec{S}-\vec{A})=-x\overrightarrow{SA}$ (vì $\vec{S}=\frac{y\vec{B}+z\vec{C}}{y+z}$ khi chiếu... thực chất dùng $\vec{S}$ tùy ý: $\overrightarrow{A^{\prime }}-\vec{M}=x(\vec{S}-\vec{A})$ do $\vec{S}$ thỏa mãn biểu diễn trên mặt phẳng $(SBC)$). Vậy $M{A}^{\prime }=x\cdot SA$, tức $\frac{M{A}^{\prime }}{SA}=x$. Tương tự $\frac{M{B}^{\prime }}{SB}=y$, $\frac{M{C}^{\prime }}{SC}=z$.

Do đó $T=x+y+z+xyz=1+xyz$, với $x,y,z>0$, $x+y+z=1$.

Theo AM–GM: $xyz\le {\left(\frac{x+y+z}{3}\right)}^3=\frac{1}{27}$, dấu bằng khi $x=y=z=\frac{1}{3}$ (tức $M$ là trọng tâm tam giác $ABC$).

Vậy $T_{\max }=1+\frac{1}{27}=\frac{28}{27}\approx 1,04$.