Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang với $AD//BC$, $AD=2BC$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm các cạnh $SB$ và $SD$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ tọa độ: $B=(0;0;0),C=(2;0;0),A=(0;2;0),D=(4;2;0)$ (thỏa $AD\parallel BC$, $AD=2BC$), $S=(0;0;1)$. Khi đó $M=(0;0;\frac{1}{2})$, $N=(2;1;\frac{1}{2})$.

a) Sai. $(SAB)$ và $(SCD)$ có chung điểm $S$; giao tuyến đi qua $S$ và giao điểm của $AB$ và $CD$ (hai đường thẳng đó nằm trong cùng mặt phẳng). Điểm $O=AC\cap BD$ không nằm trên $AB$ hay $CD$, nên giao tuyến không phải $SO$ (mặc dù $O$, giao điểm hai chân, và giao điểm hai cạnh bên cùng nằm trên một đường thẳng song song với hai đáy, nhưng $O$ không thuộc giao tuyến).

b) Đúng. $M,N$ là trung điểm $SB,SD$ trong tam giác $SBD$ nên $MN\parallel BD$. Vì $BD\subset (ABCD)$ và $MN\subset (AMN)$, mặt phẳng $(AMN)$ cắt $(ABCD)$ theo đường thẳng qua $A$ song song với $BD$.

c) Sai. Trọng tâm $G=\left(\frac{4}{3};\frac{4}{3};0\right)$. Vectơ pháp tuyến của $(GMN)$: $\vec{n}=\overrightarrow{MN}\times \overrightarrow{MG}=\left(-\frac{1}{2};1;\frac{4}{3}\right)$, phương trình mặt phẳng: $-\frac{x}{2}+y+\frac{4z}{3}-\frac{2}{3}=0$. Điểm $L\in SC$: $L=(2t;0;1-t)$, thay vào: $-t+\frac{4(1-t)}{3}-\frac{2}{3}=0\Rightarrow t=\frac{2}{7}$. Vậy $\frac{SL}{SC}=\frac{2}{7}\ne \frac{3}{10}$.

d) Đúng. $P\in SA$: $P=(0;2u;1-u)$ với $u=\frac{SP}{SA}$. Mặt phẳng $(MNP)$ có pháp tuyến $\vec{n}=\left(\frac{1}{2}-u;2u-1;4u\right)$, phương trình: $\left(\frac{1}{2}-u\right)x+(2u-1)y+4u\left(z-\frac{1}{2}\right)=0$. Thay $Q=(2t;0;1-t)\in SC$: $t(1-6u)+2u=0\Rightarrow t=\frac{2u}{6u-1}$ (cắt đoạn $SC$ khi $u\ge \frac{1}{4}$). Khi đó $\frac{SA}{SP}\cdot \frac{SC}{SQ}=\frac{1}{u}\cdot \frac{1}{t}=\frac{6u-1}{2u^2}$. Đạo hàm: $f^{\prime }(u)=\frac{1-3u}{u^3}=0\Rightarrow u=\frac{1}{3}$, $f_{\max }=\frac{2-1}{2/9}=\frac{9}{2}$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Giao tuyến của (SAB) và (SCD) đi qua S và giao điểm của AB với CD, không phải SO với O là giao điểm hai đường chéo.
b) (AI giải đề cho tôi)
MN là đường trung bình tam giác SBD nên MN∥BD; do BD⊂(ABCD) nên giao tuyến của (AMN) và (ABCD) là đường qua A song song BD.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tính tọa độ cho SL/SC = 2/7, không bằng 3/10.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với u=SP/SA, ta có SQ/SC = 2u/(6u−1), biểu thức (SA/SP)(SC/SQ) = (6u−1)/(2u²) đạt max 9/2 tại u=1/3.