Cho phương trình $2\left({\sin }^{4}x+{\cos }^{4}x\right)+\cos 4x+2\sin 2x-m=0$ ($m$ là tham số).

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $t=\sin 2x\in [-1;1]$. Ta có $\cos 4x=1-2{\sin }^{2}2x$ và ${\sin }^{4}x+{\cos }^{4}x=1-2{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x=1-\frac{1}{2}{\sin }^{2}2x$ (chú ý: không phải $1-{\sin }^{2}2x$). Phương trình trở thành $2\left(1-\frac{1}{2}{t}^2\right)+1-2t^2+2t-m=0\iff 3-3t^2+2t-m=0$, tức $m=f(t)=-3t^2+2t+3$.

a) $\cos 4x=1-2{\sin }^{2}2x$ đúng, nhưng ${\sin }^{4}x+{\cos }^{4}x=1-\frac{1}{2}{\sin }^{2}2x\ne 1-{\sin }^{2}2x$ (tại $x=\frac{\pi }{4}$: vế trái $=\frac{1}{2}$, vế phải $=0$) → SAI.

b) Với $m=2$: $3t^2-2t-1=0\iff t=1$ hoặc $t=-\frac{1}{3}$. Với $x=\frac{\pi }{4}$ thì $t=\sin \frac{\pi }{2}=1$ thỏa mãn → ĐÚNG.

c) Với $m=2$, $x\in (0;\pi )$ thì $2x\in (0;2\pi )$: $t=1$ cho $x=\frac{\pi }{4}$ (1 nghiệm); $t=-\frac{1}{3}$ cho 2 nghiệm với $2x\in (\pi ;2\pi )$. Tổng 3 nghiệm → ĐÚNG.

d) Với $x\in \left[0;\frac{\pi }{2}\right]$ thì $2x\in [0;\pi ]$ nên $t=\sin 2x\in [0;1]$. Trên $[0;1]$: $f(t)=-3t^2+2t+3$ đạt max $=\frac{10}{3}$ tại $t=\frac{1}{3}$, min $=f(1)=2$ (do $f(0)=3>f(1)$). Vậy $[a;b]=\left[2;\frac{10}{3}\right]$ và $20a+24b=40+80=120\ne 100$ → SAI.
a) Ta có $\cos 4x=1-2{\sin }^{2}2x$ (đúng). Nhưng ${\sin }^{4}x+{\cos }^{4}x=({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x{)}^2-2{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x=1-\frac{1}{2}{\sin }^{2}2x$, không phải $1-{\sin }^{2}2x$. Ví dụ tại $x=\frac{\pi }{4}$: vế trái $=\frac{1}{2}$, còn $1-{\sin }^2\frac{\pi }{2}=0$. Vậy khẳng định a SAI.
b) Với $t=\sin 2x$, dùng ${\sin }^{4}x+{\cos }^{4}x=1-\frac{1}{2}{\sin }^{2}2x$ và $\cos 4x=1-2{\sin }^{2}2x$, phương trình trở thành $2\left(1-\frac{1}{2}{t}^2\right)+1-2t^2+2t-m=0\iff 3-3t^2+2t-m=0$. Với $m=2$: $3t^2-2t-1=0\iff t=1$ hoặc $t=-\frac{1}{3}$. Với $x=\frac{\pi }{4}$ thì $t=\sin \frac{\pi }{2}=1$ là nghiệm. Vậy khẳng định b ĐÚNG.
c) Với $m=2$: $t=1$ hoặc $t=-\frac{1}{3}$. Với $x\in (0;\pi )$ thì $2x\in (0;2\pi )$. Với $t=1$: $2x=\frac{\pi }{2}$ cho $x=\frac{\pi }{4}$ (1 nghiệm). Với $t=-\frac{1}{3}$: phương trình $\sin 2x=-\frac{1}{3}$ có 2 nghiệm với $2x\in (\pi ;2\pi )$. Tổng cộng 3 nghiệm thuộc $(0;\pi )$. Vậy khẳng định c ĐÚNG.
d) Cần $x\in \left[0;\frac{\pi }{2}\right]$ thì $2x\in [0;\pi ]$ nên $t=\sin 2x\in [0;1]$. Xét $f(t)=-3t^2+2t+3$ trên $[0;1]$: $f$ liên tục, đạt max tại $t=\frac{1}{3}$: $f\left(\frac{1}{3}\right)=-\frac{1}{3}+\frac{2}{3}+3=\frac{10}{3}$; min tại $t=1$: $f(1)=2$. Vậy $m\in \left[2;\frac{10}{3}\right]$, tức $a=2$, $b=\frac{10}{3}$, khi đó $20a+24b=40+80=120\ne 100$. Vậy khẳng định d SAI.