Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành; $M$ là trung điểm của $SD$, $E$ thuộc cạnh $BC$ sao cho $BE=2EC$, $(AME)$ cắt $SC$ tại $F$. Tính tỉ số diện tích hai tam giác $SFD$ và $FCD$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $A=\vec{0}$, $B=\vec{b}$, $D=\vec{d}$, $C=\vec{b}+\vec{d}$, $S=\vec{s}$. Vì $BE=2EC$ nên $E=\frac{B+2C}{3}=\vec{b}+\frac{2}{3}\vec{d}$. Vì $M$ là trung điểm $SD$ nên $M=\frac{\vec{s}+\vec{d}}{2}$. Gọi $F\in SC$ với $F=S+t(C-S)=(1-t)\vec{s}+t\vec{b}+t\vec{d}$. Điều kiện $F\in (AME)$: $F=\alpha E+\beta M=\alpha \vec{b}+\left(\frac{2\alpha }{3}+\frac{\beta }{2}\right)\vec{d}+\frac{\beta }{2}\vec{s}$. So sánh hệ số: $\alpha =t$, $\frac{\beta }{2}=1-t$, $\frac{2t}{3}+1-t=t\Rightarrow 1=\frac{4t}{3}\Rightarrow t=\frac{3}{4}$. Vậy $\frac{SF}{FC}=\frac{3/4}{1/4}=3$. Hai tam giác $SFD$ và $FCD$ có chung đỉnh $D$, đáy $SF,FC$ cùng nằm trên đường thẳng $SC$ nên tỉ số diện tích bằng $\frac{SF}{FC}=3$ (tức $S_{SFD}:S_{FCD}=3:1$).