Cho hàm số $y=x^2-3x$ có đồ thị là (P) và đường thẳng $d:y=x-3$.

a) Vẽ đồ thị (P).
b) Hãy chỉ rõ khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số $y=x^2-3x$, giá trị nhỏ nhất của hàm số đó.
c) Tìm tọa độ giao điểm (nếu có) của đường thẳng d và đồ thị (P).
d) Dựa vào đồ thị (P) biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình: $x^2-3x+1=m$.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 2: Cho $y=x^2-3x$ có đồ thị (P) là parabol quay lên, và đường thẳng $d:y=x-3$.

a) **Vẽ đồ thị (P):**
- Hàm số $y=x^2-3x$ có $a=1>0$ nên parabol quay lên.
- Tọa độ đỉnh: $x=-\frac{b}{2a}=\frac{3}{2}$; $y=-\frac{9}{4}$, tức đỉnh $I\left(\frac{3}{2};-\frac{9}{4}\right)$.
- Bảng giá trị: $x=0\Rightarrow y=0$; $x=1\Rightarrow y=-2$; $x=2\Rightarrow y=-2$; $x=3\Rightarrow y=0$.
- Đồ thị đi qua $O(0;0)$, đối xứng qua trục $x=\frac{3}{2}$, cắt trục hoành tại $x=0$ và $x=3$.

b) **Khoảng đồng biến, nghịch biến và GTNN:**
- Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left(-\infty ;\frac{3}{2}\right)$ (vì $a>0$).
- Hàm số đồng biến trên khoảng $\left(\frac{3}{2};+\infty \right)$.
- Giá trị nhỏ nhất: $y_{\min }=y\left(\frac{3}{2}\right)=-\frac{9}{4}$, đạt tại $x=\frac{3}{2}$.

c) **Giao điểm của d và (P):**
Phương trình hoành độ giao điểm: $x^2-3x=x-3\iff x^2-4x+3=0\iff (x-1)(x-3)=0\iff x=1$ hoặc $x=3$.
- Với $x=1$: $y=1-3=-2$.
- Với $x=3$: $y=3-3=0$.
Vậy $d$ cắt (P) tại hai điểm $A(1;-2)$ và $B(3;0)$.

d) **Biện luận số nghiệm của $x^2-3x+1=m$:**
Phương trình tương đương $x^2-3x=m-1$. Xét giao điểm của (P) với đường thẳng $y=m-1$ (song song trục hoành). Vì $\underset{(P)}{\min }y=-\frac{9}{4}$:
- Nếu $m-1<-\frac{9}{4}\iff m<-\frac{5}{4}$: phương trình vô nghiệm.
- Nếu $m-1=-\frac{9}{4}\iff m=-\frac{5}{4}$: phương trình có nghiệm kép $x=\frac{3}{2}$.
- Nếu $m-1>-\frac{9}{4}\iff m>-\frac{5}{4}$: phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Kiểm tra bằng biệt thức: $x^2-3x+1-m=0$ có $\Delta =9-4(1-m)=5+4m$; $\Delta <0\iff m<-\frac{5}{4}$, $\Delta =0\iff m=-\frac{5}{4}$, $\Delta >0\iff m>-\frac{5}{4}$ — khớp hoàn toàn với kết luận đồ thị.