Tìm m để bát phương trình sau có tập nghiệm là R:
a) $2x^2-(m-9)x+m^2+3m+4\ge 0$ b) $(m-4)x^2-(m-6)x+m-5\le 0$

(AI giải đề cho tôi)
Bài 6: Tìm m để bất phương trình có tập nghiệm là R.

a) Xét $f(x)=2x^2-(m-9)x+m^2+3m+4\ge 0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$.
Vì hệ số $a=2>0$ nên parabol hướng lên. Bất phương trình $f(x)\ge 0$ đúng với mọi $x$ khi và chỉ khi $\Delta \le 0$.
$$\Delta =(m-9{)}^2-8(m^2+3m+4)=m^2-18m+81-8m^2-24m-32=-7m^2-42m+49=-7(m^2+6m-7).$$
$\Delta \le 0\iff m^2+6m-7\ge 0\iff (m+7)(m-1)\ge 0\iff m\le -7$ hoặc $m\ge 1$.
Vậy $m\in (-\infty ;-7]\cup [1;+\infty )$.

b) Xét $g(x)=(m-4)x^2-(m-6)x+m-5\le 0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$.
- Nếu $m=4$: $g(x)=2x-1\le 0$ chỉ đúng khi $x\le \frac{1}{2}$, không thỏa mãn.
- Với $m\ne 4$, cần $a=m-4<0\iff m<4$ và $\Delta \le 0$:
$$\Delta =(m-6{)}^2-4(m-4)(m-5)=m^2-12m+36-4m^2+36m-80=-3m^2+24m-44.$$
$\Delta \le 0\iff 3m^2-24m+44\ge 0$. Phương trình $3m^2-24m+44=0$ có nghiệm $m=\frac{24\pm \sqrt{576-528}}{6}=4\pm \frac{2\sqrt{3}}{3}$.
Suy ra $\Delta \le 0\iff m\le 4-\frac{2\sqrt{3}}{3}$ hoặc $m\ge 4+\frac{2\sqrt{3}}{3}$.
Kết hợp với $m<4$: $m\le 4-\frac{2\sqrt{3}}{3}$.
Vậy $m\in \left(-\infty ;4-\frac{2\sqrt{3}}{3}\right]$.

Kiểm tra lại: với $m=1$ ở câu a), $\Delta =-7(1+6-7)=0$, $f(x)=2x^2+8x+8=2(x+2{)}^2\ge 0$ đúng với mọi $x$. Với $m=4-\frac{2\sqrt{3}}{3}\approx 2,845$ ở câu b), $a<0$ và $\Delta =0$, $g(x)\le 0$ đúng với mọi $x$. Kết quả thỏa mãn.