Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho tam giác $ABC$ có $A(2;-1);B(4;5);C(-3;2)$
a) Lập phương trình tham số của đường thẳng $AB$.
b) Lập phương trình tổng quát của đường cao đường cao kẻ từ $A$.
c) Lập phương trình đường trung tuyến $BM$.
d) Lập phương trình đường trung trực của cạnh $AB$.
e) Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm $B$ và song song với đường thẳng $AC$.
f) Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm $C$ và vuông góc với đường thẳng $AB$.
g) Tính diện tích tam giác $ABC$.
h) Tìm tọa độ trọng tâm, trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 9: Cho $A(2;-1),B(4;5),C(-3;2)$.

a) $\overrightarrow{AB}=(2;6)$, chọn VTCP $(1;3)$. Phương trình tham số của $AB$: $\{\begin{array}{l}x=2+t\\ y=-1+3t\end{array}$ ($t\in \mathbb{R}$).

b) Đường cao kẻ từ $A$ vuông góc với $BC$. $\overrightarrow{BC}=(-7;-3)$ nên đường cao nhận $\vec{n}=(7;3)$ làm VTPT, qua $A(2;-1)$: $7(x-2)+3(y+1)=0\iff 7x+3y-11=0$.

c) $M$ trung điểm $AC$: $M\left(-\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)$. $\overrightarrow{BM}=\left(-\frac{9}{2};-\frac{9}{2}\right)\parallel (1;1)$, đường thẳng qua $B(4;5)$: $y-5=x-4\iff x-y+1=0$.

d) Trung điểm $AB$ là $(3;2)$, đường trung trực nhận $\vec{n}=(1;3)$ (VTCP của $AB$): $(x-3)+3(y-2)=0\iff x+3y-9=0$.

e) $\overrightarrow{AC}=(-5;3)$ nên VTPT của đường cần tìm là $(3;5)$, qua $B(4;5)$: $3(x-4)+5(y-5)=0\iff 3x+5y-37=0$.

f) Vuông góc với $AB$ nên nhận $\vec{n}=(1;3)$, qua $C(-3;2)$: $(x+3)+3(y-2)=0\iff x+3y-3=0$.

g) $S=\frac{1}{2}\left|x_{\overrightarrow{AB}}{y}_{\overrightarrow{AC}}-y_{\overrightarrow{AB}}{x}_{\overrightarrow{AC}}\right|=\frac{1}{2}|2\cdot 3-6\cdot (-5)|=\frac{36}{2}=18$ (đơn vị diện tích).

h) Trọng tâm: $G=\left(\frac{2+4-3}{3};\frac{-1+5+2}{3}\right)=(1;2)$.

Trực tâm: giao của đường cao từ $A$: $7x+3y-11=0$ và đường cao từ $B$ (vuông góc $AC$, VTPT $(5;-3)$): $5(x-4)-3(y-5)=0\iff 5x-3y-5=0$. Cộng hai phương trình: $12x=16\Rightarrow x=\frac{4}{3}$, $y=\frac{5}{9}$. Vậy $H=\left(\frac{4}{3};\frac{5}{9}\right)$.

Tâm đường tròn ngoại tiếp: giao hai đường trung trực $x+3y-9=0$ và trung trực $AC$ (trung điểm $\left(-\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)$, VTPT $(-5;3)$): $-5x+3y-4=0$. Thay $x=9-3y$: $-45+15y+3y-4=0\Rightarrow 18y=49\Rightarrow y=\frac{49}{18}$, $x=\frac{5}{6}$. Vậy $O=\left(\frac{5}{6};\frac{49}{18}\right)$.

Kiểm tra: $O{A}^2={\left(2-\frac{5}{6}\right)}^2+{\left(-1-\frac{49}{18}\right)}^2=\frac{49}{36}+\frac{4489}{324}=\frac{441+4489}{324}=\frac{4930}{324}$; $O{B}^2={\left(4-\frac{5}{6}\right)}^2+{\left(5-\frac{49}{18}\right)}^2=\frac{361}{36}+\frac{1681}{324}=\frac{3249+1681}{324}=\frac{4930}{324}$; $O{C}^2={\left(-3-\frac{5}{6}\right)}^2+{\left(2-\frac{49}{18}\right)}^2=\frac{529}{36}+\frac{169}{324}=\frac{4761+169}{324}=\frac{4930}{324}$. Ba giá trị bằng nhau, kết quả đúng.