Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, Cho 3 điểm $A(-6;3);B(0;-1);C(3;2)$. Tìm $M$ trên đường thẳng $d:2x-y-3=0$ mà $\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|$ nhỏ nhất.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$. Ta có $G\left(\frac{-6+0+3}{3};\frac{3-1+2}{3}\right)=G\left(-1;\frac{4}{3}\right)$.

Với mọi điểm $M$: $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}$, nên $\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|=3MG$. Do đó biểu thức nhỏ nhất khi và chỉ khi $MG$ nhỏ nhất, tức $M$ là hình chiếu vuông góc của $G$ lên đường thẳng $d:2x-y-3=0$.

Tính $2x_G-y_G-3=2(-1)-\frac{4}{3}-3=-\frac{19}{3}$. Hình chiếu:
$$M=G-\frac{2x_G-y_G-3}{2^2+(-1{)}^2}(2;-1)=G+\frac{19}{15}(2;-1)=\left(-1+\frac{38}{15};\frac{4}{3}-\frac{19}{15}\right)=\left(\frac{23}{15};\frac{1}{15}\right).$$

Kiểm tra: $2\cdot \frac{23}{15}-\frac{1}{15}-3=\frac{46-1-45}{15}=0$, nên $M\in d$. Vậy $M\left(\frac{23}{15};\frac{1}{15}\right)$, giá trị nhỏ nhất là $3MG=3\cdot \frac{19}{3\sqrt{5}}=\frac{19\sqrt{5}}{5}$.