Trong mặt phẳng $Oxy$, cho tam giác $ABC$ có $A(0;3),B(1;-2),C(5;1)$ và đường thẳng $d:4x-3y-2=0$.
a) Viết phương trình tham số của đường thẳng $AC$.
b) Tìm tọa độ điểm $M$ nằm trên đường thẳng d sao cho $\left|\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}+3\overrightarrow{MC}\right|$ nhỏ nhất.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 17: a) Đường thẳng AC đi qua A(0;3) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{AC}=(5;-2)$, nên phương trình tham số: $x=5t,y=3-2t$ ($t\in \mathbb{R}$).

b) Ta có $\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}+3\overrightarrow{MC}=(\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OM})+2(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OM})+3(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OM})=6\overrightarrow{OM}-(\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}+3\overrightarrow{OC})$.
Tính $\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}+3\overrightarrow{OC}=(0;3)+2(1;-2)+3(5;1)=(17;2)$.
Vậy biểu thức cần xét có độ dài $|6\overrightarrow{OM}-(17;2)|=6\left|\overrightarrow{OM}-\left(\frac{17}{6};\frac{1}{3}\right)\right|$, nhỏ nhất khi $M$ là hình chiếu vuông góc của $P\left(\frac{17}{6};\frac{1}{3}\right)$ lên $d:4x-3y-2=0$.
Thay $P$ vào vế trái của $d$: $f(P)=4\cdot \frac{17}{6}-3\cdot \frac{1}{3}-2=\frac{34}{3}-3=\frac{25}{3}$.
Hình chiếu: $M=P-\frac{f(P)}{4^2+3^2}(4;-3)=\left(\frac{17}{6};\frac{1}{3}\right)-\frac{1}{3}(4;-3)=\left(\frac{3}{2};\frac{4}{3}\right)$.
Kiểm tra: $4\cdot \frac{3}{2}-3\cdot \frac{4}{3}-2=6-4-2=0$ ✓. Vậy $M\left(\frac{3}{2};\frac{4}{3}\right)$.