Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, một tín hiệu âm thanh phát đi từ một vị trí và được ba thiết bị ghi tín hiệu đặt tại ba vị trí $O(0;0)$, $A(1;0)$, $B(1;3)$ nhận được cùng một thời điểm. Hãy xác định vị trí phát tín hiệu âm thanh.

(AI giải đề cho tôi)
Vì ba thiết bị nhận tín hiệu cùng một thời điểm, vị trí phát tín hiệu $M(x;y)$ phải cách đều ba điểm $O(0;0)$, $A(1;0)$, $B(1;3)$, tức $M$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $OAB$.

Từ $MO=MA$: $x^2+y^2=(x-1{)}^2+y^2\Rightarrow 2x=1\Rightarrow x=\frac{1}{2}$.

Từ $MO=MB$: $x^2+y^2=(x-1{)}^2+(y-3{)}^2\Rightarrow 2x+6y=10\Rightarrow x+3y=5$.

Thay $x=\frac{1}{2}$: $\frac{1}{2}+3y=5\Rightarrow y=\frac{3}{2}$.

Vậy vị trí phát tín hiệu là điểm $M\left(\frac{1}{2};\frac{3}{2}\right)$ (tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $OAB$). Kiểm tra: $M{O}^2=\frac{1}{4}+\frac{9}{4}=\frac{5}{2}$, $M{A}^2=\frac{1}{4}+\frac{9}{4}=\frac{5}{2}$, $M{B}^2=\frac{1}{4}+\frac{9}{4}=\frac{5}{2}$ — thỏa mãn.