Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho tam giác $ABC$ biết trực tâm $H(1;1)$ và phương trình cạnh $AB:5x-2y+6=0$, phương trình cạnh $AC:4x+7y-21=0$. Lập phương trình cạnh $BC$.

(AI giải đề cho tôi)
A là giao điểm của AB và AC: giải $\{\begin{array}{l}5x-2y+6=0\\ 4x+7y-21=0\end{array}$ ta được $A(0;3)$.

Vì $H$ là trực tâm nên $BH\perp AC$ và $CH\perp AB$.
- Đường thẳng $BH$ đi qua $H(1;1)$ và có vecto chỉ phương là pháp tuyến của $AC$ là $(4;7)$, nên $BH$ có pháp tuyến $(7;-4)$: $7(x-1)-4(y-1)=0\iff 7x-4y-3=0$.
- Đường thẳng $CH$ đi qua $H(1;1)$ và có vecto chỉ phương là pháp tuyến của $AB$ là $(5;-2)$, nên $CH$ có pháp tuyến $(2;5)$: $2(x-1)+5(y-1)=0\iff 2x+5y-7=0$.

$B=AB\cap BH$: giải $\{\begin{array}{l}5x-2y+6=0\\ 7x-4y-3=0\end{array}$, nhân phương trình đầu với 2 rồi trừ: $3x+15=0\Rightarrow x=-5$, $y=\frac{5(-5)+6}{2}=-\frac{19}{2}$. Vậy $B\left(-5;-\frac{19}{2}\right)$.

$C=AC\cap CH$: giải $\{\begin{array}{l}4x+7y-21=0\\ 2x+5y-7=0\end{array}$, từ phương trình hai $x=\frac{7-5y}{2}$, thay vào: $14-10y+7y-21=0\Rightarrow y=-\frac{7}{3}$, $x=\frac{28}{3}$. Vậy $C\left(\frac{28}{3};-\frac{7}{3}\right)$.

Vecto $\overrightarrow{BC}=\left(\frac{28}{3}+5;-\frac{7}{3}+\frac{19}{2}\right)=\left(\frac{43}{3};\frac{43}{6}\right)=\frac{43}{6}(2;1)$, nên $BC$ có vecto chỉ phương $(2;1)$, pháp tuyến $(1;-2)$.

Phương trình $BC$ qua $B\left(-5;-\frac{19}{2}\right)$: $1(x+5)-2\left(y+\frac{19}{2}\right)=0\iff x-2y-14=0$.

Kiểm tra: $C\left(\frac{28}{3};-\frac{7}{3}\right)$: $\frac{28}{3}+\frac{14}{3}-14=14-14=0$ ✓. Vậy $BC:x-2y-14=0$.