Trong mặt phẳng toa độ $Oxy$, cho đường thẳng $d:4x-y+11=0$. Phương trình đường thẳng $\Delta$ vuông góc với $d$ và cách đều hai điểm $P(-3;3),Q(5;-1)$ có dạng $ax+by+c=0$. Tính tổng $T=a+b+c$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d:4x-y+11=0$ có hệ số góc $k_d=4$, nên $\Delta$ vuông góc với $d$ có hệ số góc $k_{\Delta }=-\frac{1}{4}$, do đó $\Delta$ có dạng $x+4y+c=0$.

$\Delta$ cách đều $P(-3;3)$ và $Q(5;-1)$. Vectơ $\overrightarrow{PQ}=(8;-4)$ có hệ số góc $-\frac{1}{2}\ne -\frac{1}{4}$, nên $PQ$ không song song với $\Delta$; do đó $\Delta$ phải đi qua trung điểm $M$ của $PQ$: $M\left(\frac{-3+5}{2};\frac{3-1}{2}\right)=M(1;1)$.

Thay $M(1;1)$ vào $x+4y+c=0$: $1+4+c=0\Rightarrow c=-5$.

Vậy $\Delta :x+4y-5=0$ với $a=1,b=4,c=-5$, nên $T=a+b+c=1+4-5=0$.