Cho hàm số $y=\frac{x^2+2x-1}{x-1}$ có đồ thị $(C)$ .

(AI giải đề cho tôi)
Viết $y=\frac{x^2+2x-1}{x-1}=x+3+\frac{2}{x-1}$, TXĐ $\mathbb{R}\setminus \{1\}$. a) $y^{\prime }=1-\frac{2}{(x-1{)}^2}=0\iff x=1\pm \sqrt{2}$, hai nghiệm đều thuộc TXĐ nên hàm số có 2 điểm cực trị → đúng. b) $y^{\prime }<0$ trên $(1-\sqrt{2};1)$ và $(1;1+\sqrt{2})$; $y^{\prime }>0$ trên $(-\infty ;1-\sqrt{2})$ và $(1+\sqrt{2};+\infty )$. Khoảng $(0;2)$ chứa các đoạn đồng biến $(0;1-\sqrt{2})$ và $(1+\sqrt{2};2)$ nên hàm không nghịch biến trên toàn $(0;2)$ → sai. c) ${\lim }_{x\to 1^{\pm }}y=\pm \infty$ nên TCĐ là $x=1$ → đúng. d) Với $M(x_0;y_0)\in (C)$: khoảng cách đến TCĐ $x=1$ là $|x_0-1|$; khoảng cách đến TCX $y=x+3$ là $\frac{|x_0+3-y_0|}{\sqrt{2}}=\frac{\left|2/(x_0-1)\right|}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{|x_0-1|}$. Tích $=|x_0-1|\cdot \frac{\sqrt{2}}{|x_0-1|}=\sqrt{2}$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=1-\frac{2}{(x-1{)}^2}=0\iff x=1\pm \sqrt{2}$, hai điểm cực trị.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hàm đồng biến trên $(0;1-\sqrt{2})$ và $(1+\sqrt{2};2)$, nên không nghịch biến trên toàn $(0;2)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to 1}y=\infty$ nên TCĐ là $x=1$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tích hai khoảng cách $=|x-1|\cdot \frac{\sqrt{2}}{|x-1|}=\sqrt{2}$.