Cho hàm số $y=f\left(x\right)=\frac{1}{3}{e}^{3x}+m{e}^{2x}+\left(m-3\right)e^x+2024$. Tìm số giá trị nguyên của $m$ thuộc khoảng $\left(-2026;2026\right)$ để hàm số $y=f\left(x\right)$ đồng biến trên đoạn $\left[0;\ln 2\right]$?

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=e^{3x}+2m{e}^{2x}+(m-3)e^x=e^x\left(e^{2x}+2m{e}^x+m-3\right)$. Đặt $t=e^x$, với $x\in [0;\ln 2]$ thì $t\in [1;2]$. Hàm số đồng biến trên $[0;\ln 2]$ khi và chỉ khi $g(t)=t^2+2mt+m-3\ge 0$ với mọi $t\in [1;2]$. Vì $g$ là tam thức bậc hai với hệ số dương, xét ba trường hợp theo vị trí đỉnh $t=-m$: (1) Nếu $-m\in [1;2]$ tức $m\in [-2;-1]$, giá trị nhỏ nhất $g(-m)=-m^2+m-3\ge 0$ tương đương $m^2-m+3\le 0$, vô nghiệm. (2) Nếu $-m<1$ tức $m>-1$, min tại $t=1$: $g(1)=3m-2\ge 0\Rightarrow m\ge \frac{2}{3}$, thỏa mãn $m>-1$. (3) Nếu $-m>2$ tức $m<-2$, min tại $t=2$: $g(2)=5m+1\ge 0\Rightarrow m\ge -\frac{1}{5}$, mâu thuẫn với $m<-2$. Vậy điều kiện là $m\ge \frac{2}{3}$. Các giá trị nguyên của $m$ thuộc khoảng $(-2026;2026)$ là $m\in \{1,2,\dots ,2025\}$, gồm $2025$ giá trị.