Mỗi đợt xuất khẩu gạo của tỉnh $A$ kéo dài trong $60$ ngày. Người ta thấy lượng gạo xuất khẩu theo ngày thứ $t$ được xác định bởi công thức: $s(t)=-t^3+27t^2+262144$ (tấn) với $1\le t\le 60,t\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.
a) Tính số lượng gạo xuất khẩu của tỉnh $A$ ngày thứ 12.
b) Số lượng gạo xuất khẩu của tỉnh $A$ cao nhất vào ngày nào?
c) Trong khoảng thời gian nào thì sản lượng xuất khẩu gạo của tỉnh $A$ giảm.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $s(t)=-t^3+27t^2+262144$ với $1\le t\le 60$, $t\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

a) $s(12)=-12^3+27\cdot 12^2+262144=-1728+3888+262144=264304$ (tấn).

b) Xét hàm $s(t)$ trên $[1;60]$: $s^{\prime }(t)=-3t^2+54t=-3t(t-18)$. Với $t\in [1;60]$: $s^{\prime }(t)>0$ khi $t\in (1;18)$ và $s^{\prime }(t)<0$ khi $t\in (18;60)$. Vậy hàm số đồng biến trên $[1;18]$, nghịch biến trên $[18;60]$, nên $s(t)$ đạt giá trị lớn nhất tại $t=18$. Số lượng gạo xuất khẩu cao nhất vào ngày thứ 18 (lúc đó $s(18)=-5832+8748+262144=265060$ tấn).

c) Sản lượng giảm khi $s^{\prime }(t)<0$, tức $-3t(t-18)<0\iff t>18$ (do $t>0$). Kết hợp $t\le 60$, sản lượng xuất khẩu giảm trong khoảng thời gian từ ngày thứ 18 đến ngày thứ 60, tức trên khoảng $(18;60)$.