Cho hàm số $y=f(x)=\frac{1}{3}{x}^3+ax$ có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi $S_1$, $S_2$ lần lượt là diện tích của hai hình phẳng được gạch chéo. Khi $2S_1+S_2=3$ thì $a$ thuộc khoảng nào dưới đây?

(AI giải đề cho tôi)
Với $f(x)=\frac{x^3}{3}+ax$, đồ thị cho thấy $S_1$ là diện tích giữa trục hoành và đồ thị trên $[-1;0]$ (đồ thị nằm dưới trục), $S_2$ trên $[0;2]$ (đồ thị nằm trên trục).

${\int }_{-1}^{0}f(x)dx={\left[\frac{x^3}{9}+\frac{a{x}^2}{2}\right]}_{-1}^0=0-\left(-\frac{1}{9}+\frac{a}{2}\right)=\frac{1}{9}-\frac{a}{2}$, nên $S_1=\frac{a}{2}-\frac{1}{9}$.

$S_2={\int }_0^{2}f(x)dx=\frac{8}{9}+2a$.

Do đó $2S_1+S_2=a-\frac{2}{9}+\frac{8}{9}+2a=3a+\frac{2}{3}=3\Rightarrow a=\frac{7}{9}$.

Kiểm tra: $a=\frac{7}{9}>0$ thì $f$ đồng biến, $f<0$ trên $[-1;0]$ và $f>0$ trên $[0;2]$, phù hợp hình vẽ. Vậy $a=\frac{7}{9}\in \left(\frac{1}{3};1\right)$.