Cho hàm số $y=f(x)=\frac{x^2+x+1}{x+1}$ có đồ thị $(C)$.

(AI giải đề cho tôi)
Viết $f(x)=x+\frac{1}{x+1}$, nên $f^{\prime }(x)=1-\frac{1}{(x+1{)}^2}$. a) $f^{\prime }(1)=1-\frac{1}{4}=0,75$ → đúng. b) $y=[f(x){]}^2$ có $y^{\prime }=2f(x)f^{\prime }(x)$; $f(x)>0$ trên R (tử $x^2+x+1>0$), $f^{\prime }(x)=0\iff x=0$ hoặc $x=-2$, cả hai đều là cực trị → chỉ có 2 điểm cực trị, không phải 3 → sai. c) Trên $[2\pi ;\frac{5\pi }{2}]$ có $\sin x\in [0,1]$; $f(t)=t+\frac{1}{t+1}$ đồng biến trên $[0,1]$ vì $f^{\prime }(t)=1-\frac{1}{(t+1{)}^2}\ge 0$, nên max $=f(1)=\frac{3}{2}\ne 1$ → sai. d) Đặt $u=a+1>0$, $v=b+1<0$ với $A(a;f(a))\in$ nhánh phải, $B(b;f(b))\in$ nhánh trái. Khi đó $a-b=u-v$, $f(a)-f(b)=(u-v)\left(1-\frac{1}{uv}\right)$, nên $A{B}^2=(u-v{)}^2\left[1+{\left(1-\frac{1}{uv}\right)}^2\right]$. Với $s=-uv>0$ cố định, $(u-v{)}^2\ge 4s$ (dấu bằng khi $u=|v|=\sqrt{s}$), suyra $A{B}^2\ge 4s\left[1+{\left(1+\frac{1}{s}\right)}^2\right]=8s+8+\frac{4}{s}$. Cực tiểu: $8-\frac{4}{s^2}=0\Rightarrow s=\frac{1}{2}$. Khi đó $u=\frac{1}{\sqrt{2}}$, $v=-\frac{1}{\sqrt{2}}$, tức $a=\frac{1}{\sqrt{2}}-1$, $b=-\frac{1}{\sqrt{2}}-1$, và $ab=uv-u-v+1=-\frac{1}{2}+1=0,5$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=1-\frac{1}{(x+1{)}^2}$, $f^{\prime }(1)=\frac{3}{4}=0,75$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=2f(x)f^{\prime }(x)$, $f(x)\ne 0$; $f^{\prime }(x)=0$ tại $x=0,-2$ → chỉ 2 điểm cực trị.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\sin x\in [0,1]$, $f$ đồng biến trên $[0,1]$, max $=f(1)=1,5$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Đặt $u=a+1>0,v=b+1<0$: $A{B}^2=(u-v{)}^2[1+(1-\frac{1}{uv}{)}^2]\ge 8s+8+\frac{4}{s}$ với $s=-uv$, min tại $s=\frac{1}{2}$, khi đó $ab=uv-u-v+1=\frac{1}{2}=0,5$.