Câu 25: Cho hàm số bậc bốn có đồ thị như hình dưới đây
Câu 25: Cho hàm số bậc bốn có đồ thị như hình dưới đây
Các mệnh đề Đúng / Sai:
a)
Hàm số đồng biến trên khoảng .
b)
Hàm số không có giá trị nhỏ nhất trên khoảng .
c)
Hàm số có 4 điểm cực tiểu.
d)
Đồ thị hàm số có thể cắt trục hoành tại tối đa 8 điểm.
Đáp án chính thức: a:S,b:S,c:S,d:S
Hướng dẫn giải chi tiết
(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: f có cực tiểu tại x₁<0 (f(x₁)<0), f(0)=0 với f'(0)>0, cực đại tại x₂∈(0;4) với f(x₂)>0, và cực tiểu tại x=4 với f(4)=0 (nghiệm kép). Vậy f có 3 nghiệm: a<0 (đơn), 0 (đơn), 4 (kép).
a) Trên (0;4), f tăng từ 0 lên f(x₂)>0 rồi giảm về 0 (có cực đại trong khoảng) nên không đồng biến trên toàn khoảng. Sai.
b) Trên (0;+∞), f giảm rồi tăng, GTNN f(4)=0 đạt được tại x=4, nên hàm số có GTNN. Sai.
c) Đặt t=x³+3x², t'=3x(x+2); t tăng trên (-∞;-2), giảm trên (-2;0), tăng trên (0;+∞); t(-2)=4 (cực đại), t(0)=0 (cực tiểu), range t là (-∞;4]. Xét g(x)=f(t(x)), g'=f'(t)·t':
- t=a<0: 1 nghiệm x<-2, t'>0, f' đổi dấu từ - sang + → cực tiểu (1 điểm).
- t=0: nghiệm x=-3 và x=0. Tại x=-3: f'(0)>0 không đổi dấu → không cực trị. Tại x=0: f'(0)>0, t' đổi + thành - → g' đổi + thành - → cực đại.
- t=f(x₂)∈(0;4): 2 nghiệm, mỗi nơi f' đổi + thành -; tại nghiệm trong (-2;0) có t'<0 → g' đổi - thành + → cực tiểu; tại nghiệm trong (0;+∞) có t'>0 → cực đại.
- t=4 tại x=-2: f'(4)=0 đổi - thành +, t' đổi + thành - → g' đổi - thành + → cực tiểu.
Tổng cộng 3 điểm cực tiểu, không phải 4. Sai.
d) f(t(x))=0: t=a cho 1 nghiệm (x<-2); t=0 cho 2 nghiệm (x=-3 và x=0); t=4 cho 1 nghiệm (x=-2). Tổng cộng đúng 4 giao điểm với trục hoành, không thể tới 8. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Trên (0;4) hàm số tăng rồi giảm (có cực đại trong khoảng), nên không đồng biến trên toàn khoảng.
b) (AI giải đề cho tôi)
f(4)=0 là giá trị nhỏ nhất đạt được trên (0;+∞) nên hàm số có GTNN trên khoảng này.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với t=x³+3x² có range (-∞;4], đếm dấu đổi của f'(t(x)) chỉ cho 3 điểm cực tiểu (tại nghiệm của t=a, nghiệm trong (-2;0) của t=f(x₂), và x=-2), không phải 4.
d) (AI giải đề cho tôi)
f có nghiệm a<0, 0 và 4 (kép). Phương trình t(x)=a cho 1 nghiệm, t(x)=0 cho 2 nghiệm (x=-3 và x=0), t(x)=4 cho 1 nghiệm (x=-2) → tổng cộng 4 giao điểm, không thể tới 8.
Từ đồ thị: f có cực tiểu tại x₁<0 (f(x₁)<0), f(0)=0 với f'(0)>0, cực đại tại x₂∈(0;4) với f(x₂)>0, và cực tiểu tại x=4 với f(4)=0 (nghiệm kép). Vậy f có 3 nghiệm: a<0 (đơn), 0 (đơn), 4 (kép).
a) Trên (0;4), f tăng từ 0 lên f(x₂)>0 rồi giảm về 0 (có cực đại trong khoảng) nên không đồng biến trên toàn khoảng. Sai.
b) Trên (0;+∞), f giảm rồi tăng, GTNN f(4)=0 đạt được tại x=4, nên hàm số có GTNN. Sai.
c) Đặt t=x³+3x², t'=3x(x+2); t tăng trên (-∞;-2), giảm trên (-2;0), tăng trên (0;+∞); t(-2)=4 (cực đại), t(0)=0 (cực tiểu), range t là (-∞;4]. Xét g(x)=f(t(x)), g'=f'(t)·t':
- t=a<0: 1 nghiệm x<-2, t'>0, f' đổi dấu từ - sang + → cực tiểu (1 điểm).
- t=0: nghiệm x=-3 và x=0. Tại x=-3: f'(0)>0 không đổi dấu → không cực trị. Tại x=0: f'(0)>0, t' đổi + thành - → g' đổi + thành - → cực đại.
- t=f(x₂)∈(0;4): 2 nghiệm, mỗi nơi f' đổi + thành -; tại nghiệm trong (-2;0) có t'<0 → g' đổi - thành + → cực tiểu; tại nghiệm trong (0;+∞) có t'>0 → cực đại.
- t=4 tại x=-2: f'(4)=0 đổi - thành +, t' đổi + thành - → g' đổi - thành + → cực tiểu.
Tổng cộng 3 điểm cực tiểu, không phải 4. Sai.
d) f(t(x))=0: t=a cho 1 nghiệm (x<-2); t=0 cho 2 nghiệm (x=-3 và x=0); t=4 cho 1 nghiệm (x=-2). Tổng cộng đúng 4 giao điểm với trục hoành, không thể tới 8. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Trên (0;4) hàm số tăng rồi giảm (có cực đại trong khoảng), nên không đồng biến trên toàn khoảng.
b) (AI giải đề cho tôi)
f(4)=0 là giá trị nhỏ nhất đạt được trên (0;+∞) nên hàm số có GTNN trên khoảng này.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với t=x³+3x² có range (-∞;4], đếm dấu đổi của f'(t(x)) chỉ cho 3 điểm cực tiểu (tại nghiệm của t=a, nghiệm trong (-2;0) của t=f(x₂), và x=-2), không phải 4.
d) (AI giải đề cho tôi)
f có nghiệm a<0, 0 và 4 (kép). Phương trình t(x)=a cho 1 nghiệm, t(x)=0 cho 2 nghiệm (x=-3 và x=0), t(x)=4 cho 1 nghiệm (x=-2) → tổng cộng 4 giao điểm, không thể tới 8.