Câu 32: Cho hàm số $y=x+1+\frac{1}{x-1}$ có đồ thị $(C)$. Điểm $M$ di động trên đồ thị $(C)$, tiếp tuyến của $(C)$ tại $M$ tạo với hai tiệm cận của $(C)$ một tam giác có diện tích bằng bao nhiêu?

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $X=x-1,Y=y-2$, đồ thị thành $Y=X+\frac{1}{X}$ với tiệm cận $X=0$ (tức $x=1$) và $Y=X$ (tức $y=x+1$). Gọi $M$ có hoành $X=t\ne 0$: $Y_M=t+\frac{1}{t}$, $Y^{\prime }=1-\frac{1}{X^2}$ nên hệ số góc tiếp tuyến $k=1-\frac{1}{t^2}$. Phương trình tiếp tuyến: $Y=\left(1-\frac{1}{t^2}\right)X+\frac{2}{t}$ (kiểm tra: thay $X=t$ được $Y=t+\frac{1}{t}$ đúng). Giao với tiệm cận đứng $X=0$: điểm $P\left(0,\frac{2}{t}\right)$. Giao với tiệm cận xiên $Y=X$: $X=\left(1-\frac{1}{t^2}\right)X+\frac{2}{t}\Rightarrow \frac{X}{t^2}=\frac{2}{t}\Rightarrow X=2t$, điểm $Q(2t,2t)$. Hai tiệm cận cắt tại gốc $O(0,0)$. Tam giác $OPQ$ có $OP=\left|\frac{2}{t}\right|$ (trên trục $OY$) và khoảng cách từ $Q$ đến trục $OY$ là $|2t|$, nên diện tích $=\frac{1}{2}\cdot \left|\frac{2}{t}\right|\cdot |2t|=2$, không phụ thuộc vị trí $M$. Vậy diện tích tam giác bằng $2$.