Cho hệ bất phương trình $(I):\{\begin{array}{l}2x+y\le 4\\ x+2y\le 4\\ x\ge 0\\ y\ge 0\end{array}$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét hệ $(I):2x+y\le 4,x+2y\le 4,x\ge 0,y\ge 0$. Các đỉnh của miền nghiệm: giao của $x=0,y=0$ là $(0;0)$; $y=0$ với $2x+y=4$ là $(2;0)$; $x=0$ với $x+2y=4$ là $(0;2)$; giao hai đường thẳng $2x+y=4$ và $x+2y=4$: trừ hai phương trình được $x=y$, suy ra $3x=4\Rightarrow x=y=\frac{4}{3}$, tức $\left(\frac{4}{3};\frac{4}{3}\right)$. Vậy miền nghiệm là tứ giác với 4 đỉnh $(0;0),(2;0),\left(\frac{4}{3};\frac{4}{3}\right),(0;2)$ → a đúng; b đúng. Hàm $F=x+y$ là hàm tuyến tính nên đạt max tại đỉnh: tại $(2;0)$: $F=2$; tại $(0;2)$: $F=2$; tại $\left(\frac{4}{3};\frac{4}{3}\right)$: $F=\frac{8}{3}$ → max $F=\frac{8}{3}$ → c đúng. Điểm $M(1;2)$: kiểm tra $2x+y=4\le 4$ (thỏa) nhưng $x+2y=1+4=5>4$ (không thỏa), nên $M$ không thuộc miền nghiệm → d sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Miền nghiệm có 4 đỉnh $(0;0),(2;0),\left(\frac{4}{3};\frac{4}{3}\right),(0;2)$ nên là một tứ giác.
b) (AI giải đề cho tôi)
Giải hệ $2x+y=4,x+2y=4$ được $x=y=\frac{4}{3}$, giao điểm là $\left(\frac{4}{3};\frac{4}{3}\right)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$F=x+y$ đạt max tại đỉnh $\left(\frac{4}{3};\frac{4}{3}\right)$ với giá trị $\frac{8}{3}$ (so với $F=2$ tại $(2;0)$ và $(0;2)$).
d) (AI giải đề cho tôi)
Tại $M(1;2)$: $x+2y=5>4$ vi phạm bất phương trình thứ hai, nên $M$ không thuộc miền nghiệm.