Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA\perp (ABC)$, $AB=AC=1$, $\widehat{BAC}=120^{\circ }$, gọi $M$ là trung điểm của $BC$, biết số đo của góc nhị diện $\left[S,BC,A\right]$ bằng $30^{\circ }$ độ. Gọi V là thể tích khối chóp $S.ABC$. Giá trị $12V$ bằng bao nhiêu?

(AI giải đề cho tôi)
Vì $AB=AC=1$, $\widehat{BAC}=120^{\circ }$ nên $B{C}^2=1+1-2\cos 120^{\circ }=3\Rightarrow BC=\sqrt{3}$. Tam giác $ABC$ cân tại $A$, $M$ trung điểm $BC$ nên $AM\perp BC$. Trung tuyến: $AM=\frac{1}{2}\sqrt{2A{B}^2+2A{C}^2-B{C}^2}=\frac{1}{2}\sqrt{2+2-3}=\frac{1}{2}$. Vì $SA\perp (ABC)$ nên $BC\perp SA$ và $BC\perp AM$, suy ra $BC\perp (SAM)$, do đó góc nhị diện $[S,BC,A]$ là $\widehat{SMA}=30^{\circ }$. Khi đó $\tan 30^{\circ }=\frac{SA}{AM}\Rightarrow SA=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{1}{2\sqrt{3}}$. Diện tích đáy $S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 1\cdot \sin 120^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{4}$. Thể tích $V=\frac{1}{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{4}\cdot \frac{1}{2\sqrt{3}}=\frac{1}{24}$. Vậy $12V=12\cdot \frac{1}{24}=\frac{1}{2}$. Kiểm tra lại: $\tan 30^{\circ }=1/\sqrt{3}$, $AM=1/2$, mọi bước nhất quán.