Lát cắt ngang của một vùng đất được mô hình hoá là một phần hàm số bậc ba $y=f(x)$ có đồ thị như hình vẽ (đơn vị độ dài trên các trục là kilômét). Biết khoảng cách hai bên chân đồi $OM=2(km)$, độ rộng của hồ nước $MN=1(km)$ và ngọn đồi cao $528(m)$.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị cắt trục hoành tại $x=0,2,3$ nên $f(x)=ax(x-2)(x-3)$, đồ thị đi qua $O(0;0),M(2;0),N(3;0)$ → a) Đúng; b) Đúng (với $a<0$ vì đồi dương trên $(0;2)$). Có $f^{\prime }(x)=a(3x^2-10x+6)=0\iff x=\frac{5\pm \sqrt{7}}{3}$. Từ $3x^2-10x+6=0$ suy ra $x(x-2)(x-3)=\frac{x(12-5x)}{3}$. Tại $x=\frac{5-\sqrt{7}}{3}$: giá trị $=\frac{20+14\sqrt{7}}{27}\approx 2,1127$, nên $a=\frac{-0,528}{2,1127}\approx -0,25$. Điểm cực đại $\left(\frac{5-\sqrt{7}}{3};0,528\right)$ → c) Đúng. Tại $x=\frac{5+\sqrt{7}}{3}$ (cực tiểu, đáy hồ): $x(x-2)(x-3)=\frac{20-14\sqrt{7}}{27}\approx -0,6312$, nên $f\approx (-0,25)(-0,6312)\approx 0,1578$ km $\approx 158$ m → d) Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị cắt trục hoành tại $x=0,2,3$ tương ứng $O,M,N$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Nghiệm $0,2,3$ cho dạng $ax(x-2)(x-3)$; trên $(0;2)$ đồi cao hơn mặt hồ nên $a<0$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }=a(3x^2-10x+6)$, cực đại tại $x=\frac{5-\sqrt{7}}{3}$, cao $0,528$ km $=528$ m.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với $a\approx -0,25$, tại $x=\frac{5+\sqrt{7}}{3}$: $f\approx 0,1578$ km $\approx 158$ m.