Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$, tam giác $ABC$ vuông tại $B$, $AB=a$ và $AC=2a$. Góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $(ABC)$ bằng $45^0$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABC)$ nên góc giữa $SC$ và $(ABC)$ là $\widehat{SCA}=45^0$. Tam giác $ABC$ vuông tại $B$ có $AB=a$, $AC=2a$ nên $BC=\sqrt{4a^2-a^2}=a\sqrt{3}$.
a) Trong tam giác vuông $SAC$ (vuông tại $A$): $\tan \widehat{SCA}=\frac{SA}{AC}\Rightarrow SA=2a\tan 45^0=2a$. Tam giác $SAC$ vuông tại $A$ có $\widehat{SCA}=45^0$ nên $\widehat{ASC}=45^0$. Đúng.
b) Đường cao của chóp là $SA=2a$. Đúng.
c) $BC\perp AB$ (vuông tại $B$) và $BC\perp SA$ nên $BC\perp (SAB)$, do đó $d(C,(SAB))=BC=a\sqrt{3}\ne 2a$. Sai.
d) $V=\frac{1}{3}\cdot S_{ABC}\cdot SA=\frac{1}{3}\cdot \frac{a\cdot a\sqrt{3}}{2}\cdot 2a=\frac{a^3\sqrt{3}}{3}\ne \frac{a^3\sqrt{3}}{6}$. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tam giác $SAC$ vuông tại $A$, $\widehat{SCA}=45^0$ nên $\widehat{ASC}=45^0$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$SA=AC\tan 45^0=2a$ là đường cao của chóp.
c) (AI giải đề cho tôi)
$BC\perp (SAB)$ nên khoảng cách bằng $BC=a\sqrt{3}\ne 2a$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$V=\frac{1}{3}\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{2}\cdot 2a=\frac{a^3\sqrt{3}}{3}$.