Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA=SB=SC=\frac{a\sqrt{3}}{2}$, đáy là tam giác vuông tại $A$, cạnh $BC=a$. Tính côsin của góc giữa đường thẳng $SA$ và mặt phẳng $(ABC)$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $H$ là trung điểm $BC$. Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nên $H$ là tâm đường tròn ngoại tiếp, $HA=HB=HC=\frac{a}{2}$. Vì $SA=SB=SC$ nên $SH\perp (ABC)$. Góc giữa $SA$ và $(ABC)$ là $\widehat{SAH}$, với $\sin \widehat{SAH}=\frac{SH}{SA}$. Ta có $S{H}^2=S{A}^2-H{A}^2=\frac{3a^2}{4}-\frac{a^2}{4}=\frac{a^2}{2}\Rightarrow SH=\frac{a}{\sqrt{2}}$. Suy ra $\sin \widehat{SAH}=\frac{a/\sqrt{2}}{a\sqrt{3}/2}=\sqrt{\frac{2}{3}}$, nên $\cos \widehat{SAH}=\sqrt{1-\frac{2}{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$. Vậy chọn C.