Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của cạnh $SA,SB$.



a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SBD)$.
b) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $(CMN)$ và $(ABCD)$.
c) Chứng minh: $MN//(ABCD)$.
d) Gọi $P$ là trung điểm của $SC$. Chứng minh rằng: $(MNP)//(ABCD)$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 20. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành; $M,N$ lần lượt là trung điểm của $SA,SB$.

a) Xét hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SBD)$:
- Ta có $S\in (SAC)\cap (SBD)$.
- Gọi $O=AC\cap BD$ (tâm hình bình hành $ABCD$, vì hai đường chéo $AC,BD$ cắt nhau tại $O$). Khi đó $O\in AC\subset (SAC)$ và $O\in BD\subset (SBD)$, suy ra $O\in (SAC)\cap (SBD)$.
Vậy giao tuyến của $(SAC)$ và $(SBD)$ là đường thẳng $SO$.

b) Trong tam giác $SAB$, $M,N$ lần lượt là trung điểm của $SA,SB$ nên $MN//AB$.
Xét mặt phẳng $(CMN)$:
- $C\in (CMN)\cap (ABCD)$.
- Trong mặt phẳng $(ABCD)$, qua $C$ kẻ đường thẳng $d$ song song với $AB$ (tức $d$ song song với $MN$). Vì $MN\subset (CMN)$, $AB\subset (ABCD)$ và $MN//AB$ nên $d$ chính là giao tuyến của $(CMN)$ và $(ABCD)$ (đường thẳng qua $C$ song song với $AB$, và do $ABCD$ là hình bình hành nên $d$ chính là đường thẳng $CD$).
Vậy giao tuyến của $(CMN)$ và $(ABCD)$ là đường thẳng qua $C$ song song với $AB$, tức là đường thẳng $CD$.

c) Trong tam giác $SAB$: $M$ là trung điểm $SA$, $N$ là trung điểm $SB$, nên $MN$ là đường trung bình của tam giác $SAB$, suy ra $MN//AB$.
Mà $AB\subset (ABCD)$ và $MN\not\subset (ABCD)$.
Vậy $MN//(ABCD)$.

d) $P$ là trung điểm của $SC$.
- Trong tam giác $SAC$: $M$ là trung điểm $SA$, $P$ là trung điểm $SC$ nên $MP$ là đường trung bình, suy ra $MP//AC$. Mà $AC\subset (ABCD)$, $MP\not\subset (ABCD)$, nên $MP//(ABCD)$.
- Trong tam giác $SBC$: $N$ là trung điểm $SB$, $P$ là trung điểm $SC$ nên $NP$ là đường trung bình, suy ra $NP//BC$. Mà $BC\subset (ABCD)$, $NP\not\subset (ABCD)$, nên $NP//(ABCD)$.
- Mặt phẳng $(MNP)$ chứa hai đường thẳng cắt nhau $MP$ và $NP$, trong đó $MP//(ABCD)$, $NP//(ABCD)$.
Vậy $(MNP)//(ABCD)$ (định lý về mặt phẳng song song với mặt phẳng cho trước).