Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $M,N$ lần lượt là hai điểm thuộc hai cạnh $SB,SD$ sao cho: $SM=MB$, $SN=2ND$. Mặt phẳng $(AMN)$ cắt $SC$ tại $P$ thỏa mãn $SP=kSC$. Tìm $k$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $\overrightarrow{SA}=\vec{a},\overrightarrow{SB}=\vec{b},\overrightarrow{SC}=\vec{c},\overrightarrow{SD}=\vec{d}$. Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $\vec{a}+\vec{c}=\vec{b}+\vec{d}$, tức $\vec{d}=\vec{a}+\vec{c}-\vec{b}$. Ta có $M$ là trung điểm $SB$: $\overrightarrow{SM}=\frac{1}{2}\vec{b}$; $SN=2ND$ nên $\overrightarrow{SN}=\frac{2}{3}\vec{d}$. Điểm $P\in SC$ với $\overrightarrow{SP}=k\vec{c}$ nằm trong mặt phẳng $(AMN)$ nên $\overrightarrow{SP}=\alpha \vec{a}+\beta \cdot \frac{1}{2}\vec{b}+\gamma \cdot \frac{2}{3}\vec{d}$ với $\alpha +\beta +\gamma =1$. Thay $\vec{d}=\vec{a}+\vec{c}-\vec{b}$: $\overrightarrow{SP}=\left(\alpha +\frac{2\gamma }{3}\right)\vec{a}+\left(\frac{\beta }{2}-\frac{2\gamma }{3}\right)\vec{b}+\frac{2\gamma }{3}\vec{c}$. So sánh với $k\vec{c}$: $\alpha +\frac{2\gamma }{3}=0$, $\frac{\beta }{2}=\frac{2\gamma }{3}$, $k=\frac{2\gamma }{3}$. Kết hợp $\alpha +\beta +\gamma =1$: $-\frac{2\gamma }{3}+\frac{4\gamma }{3}+\gamma =\frac{5\gamma }{3}=1\Rightarrow \gamma =\frac{3}{5}$. Vậy $k=\frac{2}{3}\cdot \frac{3}{5}=\frac{2}{5}=0,4$.