Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $M,N,P,Q$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB,BC,CD,DA$; $I,J,K,L$ lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng $SM,SN,SP,SQ$.
a) Chứng minh rằng bốn điểm $I,J,K,L$ đồng phẳng và tứ giác $IJKL$ là hình bình hành.
b) Chứng minh rằng $IK\parallel BC$.
c) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng $(IJKL)$ và $(SBC)$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Trong tam giác $SBC$: $J$ là trung điểm của $SN$, $K$ là trung điểm của $SP$ nên $JK$ là đường trung bình của tam giác $SBC$, suy ra $JK\parallel BC$ và $JK=\frac{BC}{2}$. Tương tự, trong tam giác $SAD$: $IL$ là đường trung bình nên $IL\parallel AD$ và $IL=\frac{AD}{2}$. Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $BC\parallel AD$ và $BC=AD$, do đó $JK\parallel IL$ và $JK=IL$. Tứ giác $IJKL$ có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau nên là hình bình hành; suy ra bốn điểm $I,J,K,L$ đồng phẳng.

b) Dùng vectơ, lấy điểm $S$ làm gốc. Vì $I,K$ lần lượt là trung điểm của $SM,SP$ nên
$$\overrightarrow{IK}=\overrightarrow{SK}-\overrightarrow{SI}=\frac{1}{2}\overrightarrow{SP}-\frac{1}{2}\overrightarrow{SM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{MP}.$$
Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SC}=\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SD}$. Với $M$ là trung điểm $AB$ và $P$ là trung điểm $CD$:
$$\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{SP}-\overrightarrow{SM}=\frac{\overrightarrow{SC}+\overrightarrow{SD}}{2}-\frac{\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SB}}{2}=\frac{(\overrightarrow{SC}-\overrightarrow{SB})+(\overrightarrow{SD}-\overrightarrow{SA})}{2}=\frac{\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD}}{2}.$$
Vì $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$ (hình bình hành) nên $\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{BC}$, do đó $\overrightarrow{IK}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$. Vậy $IK\parallel BC$.

c) Ta có $J\in SN\subset (SBC)$ và $K\in SP\subset (SBC)$, đồng thời $J,K\in (IJKL)$ (theo câu a). Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng $(IJKL)$ và $(SBC)$ là đường thẳng $JK$; theo câu b, $JK\parallel BC$.