Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Mặt phẳng $(\alpha )$ không đi qua đỉnh $S$ và cắt các cạnh $SA,SB,SC,SD$ lần lượt tại các điểm $M,N,P,Q$. Biết $SA=\frac{3}{2}SM$ và $SC=2SP$, tính tỉ số $\frac{SD}{SQ}$ (bằng số thập phân) khi biểu thức $T={\left(\frac{SB}{SN}\right)}^2+4{\left(\frac{SD}{SQ}\right)}^2$ đạt giá trị nhỏ nhất.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn $S$ làm gốc, gọi $\vec{a},\vec{b},\vec{c},\vec{d}$ lần lượt là vectơ vị trí của $A,B,C,D$. Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $\vec{a}+\vec{c}=\vec{b}+\vec{d}$. Mặt phẳng $(\alpha )$ không qua $S$ có phương trình dạng $f(\vec{x})=1$ với $f$ tuyến tính. Nếu $SM=m\cdot SA$ thì $f(M)=mf(\vec{a})=1\Rightarrow f(\vec{a})=\frac{SA}{SM}$. Tương tự $f(\vec{b})=\frac{SB}{SN}$, v.v. Áp dụng $f(\vec{a})+f(\vec{c})=f(\vec{b})+f(\vec{d})$: $$\frac{SA}{SM}+\frac{SC}{SP}=\frac{SB}{SN}+\frac{SD}{SQ}.$$ Với $SA=\frac{3}{2}SM\Rightarrow \frac{SA}{SM}=\frac{3}{2}$ và $SC=2SP\Rightarrow \frac{SC}{SP}=2$, ta có $\frac{3}{2}+2=\frac{7}{2}$. Đặt $u=\frac{SB}{SN},v=\frac{SD}{SQ}$ thì $u+v=\frac{7}{2}$ và $T=u^2+4v^2$. Thay $u=\frac{7}{2}-v$: $T={\left(\frac{7}{2}-v\right)}^2+4v^2=5v^2-7v+\frac{49}{4}$, đạt nhỏ nhất tại $v=\frac{7}{10}$ (đạo hàm $10v-7=0$). Khi đó $u=\frac{14}{5}$, $T_{\min }=\frac{196}{25}+4\cdot \frac{49}{100}=\frac{49}{5}$. Vậy $\frac{SD}{SQ}=\frac{7}{10}=0,7$.