Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$. Gọi $I$ là điểm nằm trên cạnh $SC$ sao cho $SI=\frac{1}{4}SC$. Một mặt phẳng $(\alpha )$ đi qua $AI$, song song với $BD$ và cắt cạnh $SD$ tại $K$. Tính $\frac{S_{△SIK}}{S_{△SCD}}$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ tọa độ: $A(0;0;0)$, $B(1;0;0)$, $D(0;1;0)$, $C(1;1;0)$, $S(0;0;h)$. Khi đó $I$ trên $SC$ với $SI=\frac{1}{4}SC$: $I=\left(\frac{3}{4};\frac{3}{4};\frac{h}{4}\right)$. Mặt phẳng $(\alpha )$ qua $A$, chứa $I$, song song với $BD$ (vecto chỉ phương $(-1;1;0)$). Vecto pháp tuyến $\vec{n}=\overrightarrow{AI}\times (-1;1;0)=\left(-\frac{h}{4};-\frac{h}{4};\frac{3}{2}\right)$, nên $(\alpha ):-\frac{h}{4}x-\frac{h}{4}y+\frac{3}{2}z=0$. Điểm $K$ trên $SD$ có dạng $(0;t;h(1-t))$, thay vào phương trình: $-\frac{t}{4}+\frac{3}{2}(1-t)=0\Rightarrow 7t=6\Rightarrow t=\frac{6}{7}$, tức $\frac{SK}{SD}=\frac{6}{7}$. Vì $I\in SC$, $K\in SD$ nên tam giác $SIK$ nằm trong mặt phẳng $(SCD)$, do đó $\frac{S_{△SIK}}{S_{△SCD}}=\frac{SI}{SC}\cdot \frac{SK}{SD}=\frac{1}{4}\cdot \frac{6}{7}=\frac{3}{28}$.