Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $AB=a$, $AD=2a$. Tam giác $SAB$ cân tại $S$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $(ABCD)$ bằng $45^{\circ }$. Gọi $M$ là trung điểm của $SD$, hãy tính theo $a$ khoảng cách từ $M$ đến mặt phẳng $(SAC)$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $A(0,0,0)$, $B(a,0,0)$, $D(0,2a,0)$, $C(a,2a,0)$. Vì $△SAB$ cân tại $S$ và $(SAB)\perp (ABCD)$ nên chân đường cao của $S$ xuống đáy là trung điểm $H$ của $AB$: $H(a/2,0,0)$. Góc giữa $SC$ và $(ABCD)$ là $\widehat{SCH}=45^{\circ }$, với $HC=\sqrt{(a/2{)}^2+(2a{)}^2}=\frac{a\sqrt{17}}{2}$, suy ra $SH=\frac{a\sqrt{17}}{2}$, tức $S\left(\frac{a}{2},0,\frac{a\sqrt{17}}{2}\right)$. Trung điểm $M$ của $SD$: $M\left(\frac{a}{4},a,\frac{a\sqrt{17}}{4}\right)$. Mặt phẳng $(SAC)$ đi qua $A$ với vectơ pháp tuyến $\vec{n}=\overrightarrow{AC}\times \overrightarrow{AS}=(a^2\sqrt{17},-\frac{a^2\sqrt{17}}{2},-a^2)$, phương trình: $\sqrt{17}x-\frac{\sqrt{17}}{2}y-z=0$. Thay tọa độ $M$: $\sqrt{17}\cdot \frac{a}{4}-\frac{\sqrt{17}}{2}a-\frac{a\sqrt{17}}{4}=-\frac{a\sqrt{17}}{2}$. Khi đó $d=\frac{a\sqrt{17}/2}{\sqrt{17+17/4+1}}=\frac{a\sqrt{17}/2}{\sqrt{89}/2}=\frac{a\sqrt{17}}{\sqrt{89}}=\frac{a\sqrt{1513}}{89}$. Khớp với đáp án D.