Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có cạnh bằng $a$. Giá trị $\sin$ của góc nhị diện $\left[A^{\prime },BD,A\right]$

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $O=AC\cap BD$ là tâm đáy. Vì $AC\perp BD$ và $A{A}^{\prime }\perp BD$ nên mặt phẳng $(AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })\perp BD$, suy ra $AO\perp BD$ và $A^{\prime }O\perp BD$. Do đó góc phẳng của nhị diện $[A^{\prime },BD,A]$ là $\widehat{A^{\prime }OA}$.

Tam giác $A^{\prime }OA$ vuông tại $A$: $AO=\frac{a\sqrt{2}}{2}$, $A{A}^{\prime }=a$, nên $A^{\prime }O=\sqrt{a^2+\frac{a^2}{2}}=a\sqrt{\frac{3}{2}}$.

$$\cos \widehat{A^{\prime }OA}=\frac{AO}{A^{\prime }O}=\frac{a\sqrt{2}/2}{a\sqrt{3/2}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$$
Suy ra $\sin \widehat{A^{\prime }OA}=\sqrt{1-\frac{1}{3}}=\sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$. Kiểm tra bằng tọa độ: mặt $(ABD)$ có pháp tuyến $(0,0,1)$, mặt $(A^{\prime }BD)$ có pháp tuyến $(1,1,1)$, $\cos =1/\sqrt{3}$ — khớp. Kết quả trùng với đáp án nguồn.