Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $SA\perp (ABCD)$ và $AB=a,AD=2a,SA=2a$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục $A(0,0,0),B(a,0,0),D(0,2a,0),C(a,2a,0),S(0,0,2a)$. a) $\overrightarrow{AC}=(a,2a,0)$, $\overrightarrow{BD}=(-a,2a,0)$, tích vô hướng $=-a^2+4a^2=3a^2\ne 0$ nên $BD$ không vuông góc $AC$, do đó $BD$ không vuông góc $(SAC)$ → Sai. b) $CD\perp AD$ (chữ nhật) và $CD\perp SA$ (vì $SA\perp (ABCD)$) nên $CD\perp (SAD)\subset (SCD)$, suy ra $(SCD)\perp (SAD)$ → Đúng. c) Mặt phẳng $(SCD)$ có phương trình $y+z=2a$; khoảng cách từ $B(a,0,0)$: $d=\frac{|0-2a|}{\sqrt{2}}=a\sqrt{2}$ → Đúng. d) Vì $CD\perp (SAD)$ nên trong nửa mặt phẳng chứa $S$, tia $\perp CD$ tại $D$ là $DS$ (thuộc $(SAD)$); trong nửa mặt phẳng chứa $B$ (mặt đáy), tia $\perp CD$ tại $D$ hướng về phía $B$ là tia đối của $DC$ hướng theo $DA$. Góc giữa $\overrightarrow{DS}=(0,2a,-2a)$ và $\overrightarrow{DA}=(0,2a,0)$: $\cos =\frac{4a^2}{2a\sqrt{2}\cdot 2a}=\frac{1}{\sqrt{2}}$, suy ra góc nhị diện $=45^{\circ }$ → Đúng. Khớp đáp án mã đề 001: SĐĐĐ.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BD}=3a^2\ne 0$ nên $BD$ không vuông góc $AC$, do đó không vuông góc $(SAC)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$CD\perp AD$ và $CD\perp SA$ nên $CD\perp (SAD)$, suy ra $(SCD)\perp (SAD)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$(SCD):y+z=2a$, khoảng cách từ $B$ là $\frac{2a}{\sqrt{2}}=a\sqrt{2}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Góc nhị diện là góc giữa $DS$ và tia $\perp CD$ phía $B$ (hướng $DA$): $\cos =\frac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow 45^{\circ }$.