Cho hình chóp $S.ABCD$, có đáy $ABCD$ là hình thoi, $SA=AB=2$, $\widehat{ABC}=60^{\circ }$, $SA$ vuông góc mặt đáy. Gọi $H$ là trung điểm $SA$. Tính $\mathcal{D}=\left|2\overrightarrow{SH}+\overrightarrow{AD}-2\overrightarrow{BH}\right|$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục gốc $A$: $S=(0,0,2)$, $H=(0,0,1)$, $B=(2,0,0)$. Hình thoi $AB=AD=2$, $\widehat{ABC}=60^{\circ }$ nên $\widehat{BAD}=120^{\circ }$, suy ra $D=2(\cos 120^{\circ },\sin 120^{\circ },0)=(-1,\sqrt{3},0)$ (kiểm tra: góc tại $B$ giữa $\overrightarrow{BA}=(-2,0,0)$ và $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}=(-1,\sqrt{3},0)$ có $\cos =\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$ ✓).

Vì $H$ là trung điểm $SA$ nên $2\overrightarrow{SH}=\overrightarrow{SA}=(0,0,-2)$.
$\overrightarrow{BH}=H-B=(-2,0,1)$, nên $-2\overrightarrow{BH}=(4,0,-2)$.

$\mathcal{D}=\left|\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{AD}-2\overrightarrow{BH}\right|=\left|(0,0,-2)+(-1,\sqrt{3},0)+(4,0,-2)\right|=\left|(3,\sqrt{3},-4)\right|=\sqrt{9+3+16}=\sqrt{28}=2\sqrt{7}$.