Cho hàm số $y=f(x)=\frac{x^2+2x+4}{x+2}$.

(AI giải đề cho tôi)
$f(x)=x+\frac{4}{x+2}$, TXĐ $\mathbb{R}\setminus \{-2\}$, $f^{\prime }(x)=1-\frac{4}{(x+2{)}^2}=\frac{x(x+4)}{(x+2{)}^2}$.

a) Trên $(0;+\infty )$: $x>0,x+4>0\Rightarrow f^{\prime }(x)>0$ nên hàm đồng biến → đúng.

b) $f^{\prime }(x)=0\iff x=-4$ hoặc $x=0$. $f(-4)=\frac{16-8+4}{-2}=-6$ (cực đại, đổi dấu +→−), $f(0)=\frac{4}{2}=2$ (cực tiểu, đổi dấu −→+). $S_{OAB}=\frac{1}{2}|x_A{y}_B-x_B{y}_A|=\frac{1}{2}|(-4)(2)|=4\ne 8$ → sai.

c) Đường thẳng qua $A(-4;-6)$, $B(0;2)$: hệ số góc $\frac{2+6}{0+4}=2$, đi qua $B(0;2)$ nên $y=2x+2$ → đúng.

d) Hàm không xác định tại $x=-2\in [-3;3]$. Khi $x\to (-2{)}^{-}$, $f(x)\to -\infty$; khi $x\to (-2{)}^{+}$, $f(x)\to +\infty$, nên hàm không bị chặn trên đoạn này, do đó không tồn tại GTLN và GTNN của hàm số trên $[-3;3]$; khẳng định tổng bằng $-3,2$ là sai → sai. (Ghi chú: nếu xét riêng từng nửa đoạn thì GTLN trên $[-3;-2)$ là $f(-3)=7$ và GTNN trên $(-2;3]$ là $f(0)=2$, cũng không cho tổng $-3,2$.)
a) Trên $(0;+\infty )$, $f^{\prime }(x)=\frac{x(x+4)}{(x+2{)}^2}>0$ nên hàm số đồng biến. → Đúng.
b) $f^{\prime }(x)=0\iff x=0$ hoặc $x=-4$. Tại $x=-4$: $f(-4)=\frac{16-8+4}{-2}=-6$, hàm đổi dấu từ dương sang âm nên cực đại $A(-4;-6)$. Tại $x=0$: $f(0)=\frac{4}{2}=2$, hàm đổi dấu từ âm sang dương nên cực tiểu $B(0;2)$. Diện tích tam giác $OAB=\frac{1}{2}|x_A{y}_B-x_B{y}_A|=\frac{1}{2}|(-4)(2)-0|=4\ne 8$. → Sai.
c) Hai điểm cực trị là $A(-4;-6)$ và $B(0;2)$. Đường thẳng qua $A$, $B$ có hệ số góc $\frac{2-(-6)}{0-(-4)}=\frac{8}{4}=2$ và đi qua $B(0;2)$ nên phương trình là $y=2x+2$. → Đúng.
d) Hàm số không xác định tại $x=-2\in [-3;3]$. Trên $[-3;-2)$: $x\to (-2{)}^{-}$ thì $f(x)\to -\infty$ nên hàm không có GTNN; GTLN trên phần này là $f(-3)=\frac{9-6+4}{1}=7$. Trên $(-2;3]$: $x\to (-2{)}^{+}$ thì $f(x)\to +\infty$ nên hàm không có GTLN; GTNN là $f(0)=2$ (do $f^{\prime }(x)=0$ chỉ tại $x=0$ và $f(3)=\frac{19}{5}=3,8>2$). Vì hàm không bị chặn trên $[-3;3]$ nên không tồn tại GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn này; nói chung tổng $-3,2$ không đúng. → Sai.