Trong không gian, cho hai véc tơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$ thỏa mãn $|\vec{u}|=5$, $|\vec{v}|=8$ và $(\vec{u},\vec{v})=120^{\circ }$. Khẳng định nào dưới đây đúng?

Cho hình chóp $S.ABCD$, có đáy $ABCD$ là hình thoi, $SA=AB=2$, $\widehat{ABC}=60^{\circ }$, $SA$ vuông góc mặt đáy. Gọi $H$ là trung điểm $SA$. Tính $\mathcal{D}=\left|2\overrightarrow{SH}+\overrightarrow{AD}-2\overrightarrow{BH}\right|$.

Trong không gian $Oxyz$, tam giác $ABC$ có $\overrightarrow{AB}=(-2;-5;0)$, $\overrightarrow{AC}=(2;-2;0)$. Độ dài đoạn thẳng $BC$ bằng

Cho $a$, $b$ là hai số thực dương khác 1 thỏa mãn đồ thị của hàm số $y=f(x)={\log }_{a}x+{\log }_{b}x$ luôn đi qua điểm $M(\mathrm{e};20)$. Tính đạo hàm của hàm số tại điểm $x=5$.

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=\frac{2x+3}{x-2}$ tại điểm có hoành độ bằng 3 có phương trình là

Hàm số $y=f(x)=\frac{1}{2}{x}^2+x-6\ln x+2025$ nghịch biến trên khoảng nào sau đây?

Một cửa hàng buôn giày nhập một đôi với giá là 40 đôla. Cửa hàng ước tính rằng nếu đôi giày được bán với giá $x$ đôla thì mỗi tháng khách hàng sẽ mua $(120-x)$ đôi. Hỏi cửa hàng bán một đôi giày giá bao nhiêu thì thu được nhiều lợi nhất?

Lợi nhuận thu được $P$ (nghìn USD) của một công ty khi dùng số tiền $x$ (nghìn USD) chi cho quảng cáo được cho bởi công thức $P=P(x)=-\frac{1}{10}{x}^3+6x^2+400$ với $x\ge 0$.

Cho hàm số $y=f(x)=\frac{x^2+2x+4}{x+2}$.

Bạn An làm đèn lồng bằng cách dùng một sợi dây đồng dài 28 (dm) cắt thành ba đoạn để uốn làm khung đèn. Đoạn thứ nhất uốn thành hình vuông $ABCD$ có cạnh bằng $x$ (dm) để làm đáy, hai đoạn còn lại có độ dài bằng nhau uốn thành các đường gấp khúc $ASC$ và $BSD$. Khung đèn sau khi hoàn thiện có hình dáng là một hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ và bề mặt ngoài của đèn được dán giấy màu để trang trí, không dán mặt đáy (xem các mối nối, dán là không đáng kể).

Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm S, A, B, C như hình vẽ bên (mỗi ô lưới là 1 đơn vị).

Một chú chim bồ câu đang ở vị trí M được mô hình hóa trong không gian Oxyz như hình vẽ sau:

Gọi H là hình chiếu của điểm M xuống mặt phẳng (Oxy). Biết $OM=50\sqrt{2}$, $(\vec{i},\overrightarrow{OH})=60^{\circ }$ và $(\overrightarrow{OH},\overrightarrow{OM})=45^{\circ }$. Nếu $M(a;b;c)$ thì giá trị của $a+b\sqrt{3}+c$ bằng bao nhiêu ?

Biết tổng các nghiệm của phương trình $\sin (\pi \sin 2x)=1$ trên đoạn $[0;2\pi ]$ bằng $a\pi$. Tìm a.

Mỗi trang của một quyển sách giáo khoa Toán được thiết kế thỏa mãn các tiêu chí sau (trang sách có dạng hình chữ nhật ABCD, phần diện tích dùng để trình bày là MNPQ) :

- Diện tích của trang sách ABCD bằng 491,04 (cm${}^2$).
- Lề trên và lề dưới bằng nhau và bằng 22 (mm).
- Lề trái và phải lần lượt là 15 (mm) và 16 (mm).
Phần diện tích dùng để trình bày (sau căn chỉnh lề) đạt giá trị lớn nhất, khi đó chu vi mỗi trang sách bằng bao nhiêu ? (đơn vị: mm).

Một vật lưu niệm làm bằng thủy tinh có dạng hình lăng trụ đều có đáy ABCD là hình vuông cạnh AB = 10 (cm). Phía bên trong làm bằng nhựa đặc là hình chóp cụt đều MNPQ.ABCD có MN = 5 (cm) và chiều cao bằng chiều cao của lăng trụ như hình vẽ. Biết rằng khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (CDQP) bằng $3\sqrt{10}$ (cm). Phần khoảng trống bên trong vật lưu niệm người ta bơm chất lỏng có màu sắc (xem độ dày thành vật thể không đáng kể). Khi đó thể tích phần chất lỏng bơm vào là $\frac{a}{b}$ (lít) với $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản. Tìm a + b.

Cho hình lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$. Biết rằng $A^{\prime }ABC$ là tứ diện đều có cạnh bằng 2 (m). Cùng một thời điểm, hai chất điểm xuất phát từ $C^{\prime }$ và $A$ di chuyển trên đoạn $C^{\prime }{A}^{\prime }$ và $AM$ (với $M$ là trung điểm của đoạn $BC$) với tốc độ lần lượt là 2 (m/s) và $2\sqrt{3}$ (m/s). Tìm thời điểm (tính theo giây) mà khoảng cách giữa hai chất điểm là ngắn nhất? (làm tròn đến hàng phần trăm).

Cho hai hộp đựng bi, đựng hai loại bi là bi xanh và bi đỏ, tổng số bi trong hộp là 15 bi và hộp thứ nhất đựng nhiều bi hơn hộp thứ hai, đồng thời số bi xanh ở hộp một nhiều hơn số bi xanh ở hộp hai. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp 1 bi. Nếu xác suất để lấy được 2 bi xanh là $\frac{5}{28}$ thì xác suất để lấy được 2 bi đỏ là $\frac{a}{b}$ với $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản. Tìm $\mathcal{D}=a+b$.