Lợi nhuận thu được $P$ (nghìn USD) của một công ty khi dùng số tiền $x$ (nghìn USD) chi cho quảng cáo được cho bởi công thức $P=P(x)=-\frac{1}{10}{x}^3+6x^2+400$ với $x\ge 0$.

(AI giải đề cho tôi)
$P^{\prime }(x)=-\frac{3}{10}{x}^2+12x=\frac{3x(40-x)}{10}$, với $x\ge 0$: $P^{\prime }>0$ trên $(0;40)$, $P^{\prime }<0$ với $x>40$. a) Sai: hàm tăng trên $(0;40)$ rồi giảm khi $x>40$, nên lợi nhuận không tăng khi chi phí quảng cáo tăng vô hạn. b) Đúng: $P(x)=800\iff x^3-60x^2+4000=0$. Thử giá trị: phương trình có nghiệm $x\approx 8,9$ (vì $f(8)=672>0$, $f(9)=-131<0$) và nghiệm $x\approx 58,8$ (vì $f(50)=-21000<0$, $f(60)=4000>0$); nghiệm thứ ba âm. Vậy có hai nghiệm $x\ge 0$ → hai phương án. c) Sai: trên miền $x\ge 0$, $x=0$ là điểm biên (không phải cực trị theo nghĩa đổi dấu đạo hàm trong miền), chỉ có $x=40$ là điểm cực đại → hàm số có một điểm cực trị. d) Đúng: $P_{\max }=P(40)=-\frac{64000}{10}+6\cdot 1600+400=-6400+9600+400=3600$ nghìn USD $=3,6$ triệu USD.
a) (AI giải đề cho tôi)
$P^{\prime }(x)=\frac{3x(40-x)}{10}$; hàm tăng trên $(0;40)$ và giảm khi $x>40$, nên không tăng với mọi $x$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$P(x)=800\iff x^3-60x^2+4000=0$ có hai nghiệm dương $x\approx 8,9$ và $x\approx 58,8$ (nghiệm thứ ba âm), nên có hai phương án với $x\ge 0$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trên miền $x\ge 0$, $x=0$ là điểm biên, chỉ có $x=40$ là điểm cực đại → chỉ một điểm cực trị.
d) (AI giải đề cho tôi)
$P(40)=-6400+9600+400=3600$ nghìn USD $=3,6$ triệu USD.