Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi. Trên cạnh $SC$ lấy điểm $M$ sao cho $CM=2SM$. Gọi $N$ là giao điểm của đường thẳng $SD$ và mặt phẳng $(ABM)$. Gọi $K$ là giao điểm của hai đường thẳng $AN$ và $BM$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ vectơ với $\overrightarrow{SA}=\vec{a},\overrightarrow{SB}=\vec{b},\overrightarrow{SC}=\vec{c}$; vì $ABCD$ là hình thoi (hình bình hành) nên $\overrightarrow{SD}=\vec{a}+\vec{c}-\vec{b}$. a) Hình thoi có $BC=CD$: đúng. b) $M$ trên $SC$ với $CM=2SM$ nên $\overrightarrow{SM}=\frac{1}{3}\vec{c}$. Tìm $N=SD\cap (ABM)$: viết $\overrightarrow{SN}=t(\vec{a}+\vec{c}-\vec{b})=\alpha \vec{a}+\beta \vec{b}+\gamma \cdot \frac{\vec{c}}{3}$ với $\alpha +\beta +\gamma =1$, suy ra $\alpha =t,\beta =-t,\gamma =3t$, nên $3t=1\Rightarrow t=\frac{1}{3}$, tức $SN=\frac{1}{3}SD$. Tìm $K=AN\cap BM$: $\overrightarrow{SK}=\vec{a}+s(\overrightarrow{SN}-\vec{a})=(1-\frac{2s}{3})\vec{a}-\frac{s}{3}\vec{b}+\frac{s}{3}\vec{c}$ và $\overrightarrow{SK}=(1-u)\vec{b}+\frac{u}{3}\vec{c}$. So sánh: $u=s$, $-\frac{s}{3}=1-s\Rightarrow s=\frac{3}{2}$, khi đó hệ số của $\vec{a}$ bằng $0$, nên $\overrightarrow{SK}=\frac{\vec{c}-\vec{b}}{2}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$, tức $SK=\frac{1}{2}BC$: đúng. c) $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{3}(\vec{d}-\vec{c})=\frac{1}{3}\overrightarrow{CD}$ nên $\frac{MN}{CD}=\frac{1}{3}\ne \frac{1}{2}$: sai. d) $\frac{SK}{MN}=\frac{1/2}{1/3}=\frac{3}{2}\ne 1$: sai. Khớp với đáp án nguồn: a Đúng, b Đúng, c Sai, d Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đáy $ABCD$ là hình thoi nên bốn cạnh bằng nhau, do đó $BC=CD$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với $\overrightarrow{SD}=\vec{a}+\vec{c}-\vec{b}$, $\overrightarrow{SM}=\frac{1}{3}\vec{c}$, giải giao điểm cho $N\in SD\cap (ABM)$ được $\overrightarrow{SN}=\frac{1}{3}\overrightarrow{SD}$; giải $K=AN\cap BM$ được $\overrightarrow{SK}=\frac{\vec{c}-\vec{b}}{2}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$, nên $\frac{SK}{BC}=\frac{1}{2}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{SN}-\overrightarrow{SM}=\frac{1}{3}(\vec{d}-\vec{c})=\frac{1}{3}\overrightarrow{CD}$, nên $\frac{MN}{CD}=\frac{1}{3}\ne \frac{1}{2}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\frac{SK}{MN}=\frac{BC/2}{CD/3}=\frac{3}{2}\ne 1$.