Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$. Biết $SA\perp \left(ABCD\right)$ và $SA=\sqrt{3}a$.

a) Chứng minh $AD\perp \left(SAB\right)$

b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $AD$ và $SB$ .

a) Chứng minh: $AD\perp (SAB)$ (0,5đ)



Ta có $ABCD$ là hình vuông nên $AB\perp AD$ (1)
Ta có $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp AD$ (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow AD\perp (SAB)$ (0,3 đ / 0,1 đ)

b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB$ và $SD$. (0,5đ)

Kẻ $AH\perp SB$ (1) (0,1đ)
Ta có $AD\perp (SAB)$ (cm câu a)
Mà $AH\subset (SAB)$ (0,1đ)
$\Rightarrow AD\perp AH$ (2)
Từ (1), (2) suy ra $AH$ là đoạn vuông góc chung của $AB$ và $SD$ (0,1đ)
$\Rightarrow d(AD,SB)=AH$
Xét $\Delta SAB$ vuông tại A và có đường cao $AH$: (0,1 đ)
$$\frac{1}{A{H}^2}=\frac{1}{S{A}^2}+\frac{1}{A{B}^2}$$
$$\iff \frac{1}{A{H}^2}=\frac{1}{3a^2}+\frac{1}{a^2}$$
$$\iff AH=\frac{a\sqrt{3}}{2}$$ (0,1đ)