Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, $SA$ vuông góc với đáy và $SA=\frac{a\sqrt{6}}{6}$. Khi đó góc giữa mặt phẳng $(SBD)$ và mặt đáy $(ABCD)$ là

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $O$ là tâm hình vuông $ABCD$ (giao điểm của $AC$ và $BD$). Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SO\perp BD$ (do $AO\perp BD$ theo định lý ba đường vuông góc, $O$ là trung điểm $BD$). Vậy góc giữa $(SBD)$ và $(ABCD)$ là $\widehat{SOA}$. Ta có $AO=\frac{a\sqrt{2}}{2}$, $SA=\frac{a\sqrt{6}}{6}$, nên $\tan \widehat{SOA}=\frac{SA}{AO}=\frac{a\sqrt{6}/6}{a\sqrt{2}/2}=\frac{2\sqrt{6}}{6\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$. Suy ra góc giữa hai mặt phẳng bằng $30^{\circ }$. Kết quả khớp với đáp án nguồn D.