Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông tâm $O$, cạnh bằng $\sqrt{2}$. Mặt phẳng $(\alpha )$ song song với $(SBD)$ và qua trung điểm $I$ của $SA$. Mặt phẳng $(\alpha )$ cắt $AB,AD$ lần lượt tại $M,N$. Tính độ dài đoạn $MN$?

(AI giải đề cho tôi)
Trong mặt phẳng $(SAB)$, gọi $M$ là giao của $(\alpha )$ với $AB$. Vì $(\alpha )\parallel (SBD)$ nên $IM\parallel SB$ (khác trường hợp trùng nhau do $I\in SA$, $SB\subset (SBD)$). Mà $I$ là trung điểm $SA$ nên $M$ là trung điểm $AB$. Tương tự, trong mặt phẳng $(SAD)$, $(\alpha )$ cắt $AD$ tại $N$ với $IN\parallel SD$, suy ra $N$ là trung điểm $AD$. Vậy $MN$ là đường trung bình của tam giác $ABD$: $MN=\frac{BD}{2}$. Đáy là hình vuông cạnh $\sqrt{2}$ nên $BD=\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=2$, do đó $MN=1$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (Câu 18, mã đề 1101: 1).