Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành. Gọi $M$ là trung điểm của $SA$, gọi $Q$ là giao điểm của $SD$ với $(BMC)$. Tỉ số $\frac{SQ}{SD}=\frac{a}{b}$, $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản, $a,b\in \mathbb{Z}$. Giá trị của $b+2a$ bằng?

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ tọa độ: $A(0;0;0)$, $B(1;0;0)$, $D(0;1;0)$, $C(1;1;0)$ (hình bình hành), $S(0;0;h)$ với $h>0$. Khi đó $M$ trung điểm $SA$ là $M(0;0;h/2)$.

Mặt phẳng $(BMC)$ qua $B(1;0;0)$, $M(0;0;h/2)$, $C(1;1;0)$. Hai vectơ chỉ phương: $\overrightarrow{BM}=(-1;0;h/2)$, $\overrightarrow{BC}=(0;1;0)$. Vectơ pháp tuyến $\vec{n}=\overrightarrow{BM}\times \overrightarrow{BC}=(-h/2;0;-1)$, nên phương trình mặt phẳng: $\frac{h}{2}(x-1)+z=0$, tức $z=\frac{h}{2}(1-x)$.

Đường thẳng $SD$: $S(0;0;h)+t(D-S)=(0;t;h(1-t))$ với $t=\frac{SQ}{SD}$.

Thay vào mặt phẳng: $h(1-t)=\frac{h}{2}(1-0)=\frac{h}{2}\Rightarrow 1-t=\frac{1}{2}\Rightarrow t=\frac{1}{2}$.

Vậy $\frac{SQ}{SD}=\frac{1}{2}$, tức $a=1$, $b=2$ (phân số tối giản). Do đó $b+2a=2+2=4$.