Cho hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có mặt đáy $ABCD$ là hình thoi cạnh bằng $2a$ và $\widehat{ABC}=60^{\circ }$. Biết $A{A}^{\prime }=\frac{4a\sqrt{3}}{3}$ và điểm $A^{\prime }$ cách đều các điểm $A,B,C$. Thể tích của khối hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ bằng

Chọn đáp án B
Tam giác $ABC$ có $AB=BC=2a$ và $\widehat{ABC}=60^{\circ }$ nên tam giác $ABC$ đều cạnh $2a$.
Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$: $R=\frac{2a}{\sqrt{3}}=\frac{2a\sqrt{3}}{3}$.
Vì $A^{\prime }$ cách đều $A,B,C$ nên hình chiếu của $A^{\prime }$ lên mặt phẳng $(ABCD)$ trùng với tâm $H$ của tam giác đều $ABC$.
Chiều cao của khối hộp:
$A^{\prime }H=\sqrt{A^{\prime }{A}^2-A{H}^2}=\sqrt{{\left(\frac{4a\sqrt{3}}{3}\right)}^2-{\left(\frac{2a\sqrt{3}}{3}\right)}^2}=\sqrt{\frac{48a^2-12a^2}{9}}=\sqrt{4a^2}=2a$.
Diện tích đáy hình thoi $ABCD$:
$S_{ABCD}=2S_{\Delta ABC}=2\cdot \frac{(2a{)}^2\sqrt{3}}{4}=2a^2\sqrt{3}$.
Thể tích khối hộp:
$V=S_{ABCD}\cdot A^{\prime }H=2a^2\sqrt{3}\cdot 2a=4a^3\sqrt{3}$.