Cho hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có tất cả các mặt đều là các hình vuông cạnh bằng 2. Các điểm $M$ và $N$ lần lượt nằm trên cạnh $A{D}^{\prime }$ và $BD$ sao cho $AM=DN=x,\left(0<x<2\sqrt{2}\right)$. Khi $MN$ song song với mặt phẳng $(A^{\prime }CD)$ thì $x$ bằng bao nhiêu? (lấy kết quả chính xác đến hàng phần trăm).

(AI giải đề cho tôi)
Gắn tọa độ: A(0;0;0), B(2;0;0), C(2;2;0), D(0;2;0), A'(0;0;2), D'(0;2;2). Vì AD' = BD = 2√2 nên M = (0; x/√2; x/√2), N = (x/√2; 2 − x/√2; 0). Mặt phẳng (A'CD) qua D(0;2;0) có pháp tuyến n = (0;1;1), tức y + z = 2. Điều kiện MN // (A'CD): MN ⊥ n, tức (y_N − y_M) + (z_N − z_M) = 0 ⟹ (2 − 2x/√2) + (−x/√2) = 0 ⟹ 2 = 3x/√2 ⟹ x = 2√2/3 ≈ 0,9428 ≈ 0,94 (thỏa 0 < x < 2√2). Khớp đáp án nguồn 0,94.