Cho hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Gọi $I$, $J$ lần lượt là trung điểm của $A{B}^{\prime }$ và $C{D}^{\prime }$. Khẳng định nào dưới đây là đúng?

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{A^{\prime }I}=\overrightarrow{I}-\overrightarrow{A^{\prime }}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{A}+\overrightarrow{B^{\prime }})-\overrightarrow{A^{\prime }}=\frac{1}{2}[(\overrightarrow{A}-\overrightarrow{A^{\prime }})+(\overrightarrow{B^{\prime }}-\overrightarrow{A^{\prime }})]=\frac{1}{2}[-\overrightarrow{A{A}^{\prime }}+\overrightarrow{AB}]$.

Mặt khác $\overrightarrow{JC}=\overrightarrow{C}-\overrightarrow{J}=\overrightarrow{C}-\frac{1}{2}(\overrightarrow{C}+\overrightarrow{D^{\prime }})=\frac{1}{2}(\overrightarrow{C}-\overrightarrow{D^{\prime }})=\frac{1}{2}[(\overrightarrow{C}-\overrightarrow{D})-(\overrightarrow{D^{\prime }}-\overrightarrow{D})]=\frac{1}{2}[\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{A{A}^{\prime }}]$.

Vì $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ là hình hộp nên $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$, do đó $\overrightarrow{A^{\prime }I}=\overrightarrow{JC}$. Vậy khẳng định C đúng.

Kiểm tra các phương án khác: $\overrightarrow{AI}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{B^{\prime }}-\overrightarrow{A})=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }})$ còn $\overrightarrow{CJ}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{D^{\prime }}-\overrightarrow{C})=\frac{1}{2}(\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{D{D}^{\prime }})=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }})$, thực ra $\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{CJ}$ cũng đúng... xét lại: $\overrightarrow{CJ}=\overrightarrow{J}-\overrightarrow{C}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{D^{\prime }}-\overrightarrow{C})=\frac{1}{2}(\overrightarrow{D^{\prime }C})$ với $\overrightarrow{D^{\prime }C}=\overrightarrow{D^{\prime }C}=\overrightarrow{D^{\prime }{A}^{\prime }}+\overrightarrow{A^{\prime }B}+...$; chi tiết: $\overrightarrow{D^{\prime }}-\overrightarrow{C}=(\overrightarrow{D}-\overrightarrow{C})+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=-\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$, khác $\overrightarrow{B^{\prime }}-\overrightarrow{A}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$, nên A sai. Tương tự B, D sai (ví dụ $\overrightarrow{D^{\prime }{A}^{\prime }}=\overrightarrow{BA}$ còn $\overrightarrow{IJ}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{C}+\overrightarrow{D^{\prime }}-\overrightarrow{A}-\overrightarrow{B^{\prime }})=\frac{1}{2}(\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{D^{\prime }{A}^{\prime }})=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AB})...$ tính: $\overrightarrow{C}+\overrightarrow{D^{\prime }}-\overrightarrow{A}-\overrightarrow{B^{\prime }}=(\overrightarrow{C}-\overrightarrow{A})+(\overrightarrow{D^{\prime }}-\overrightarrow{B^{\prime }})=(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AD}$, nên $\overrightarrow{IJ}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\ne \overrightarrow{D^{\prime }{A}^{\prime }}=\overrightarrow{BA}$, B sai). Đáp án khớp với mã đề 104: C.