Người ta ước tính rằng số lượng cá thể của một loài trong tự nhiên $t$ năm sau khi chính sách bảo vệ được thiết lập có thể được mô hình hoá bằng hàm số $N(t)=\frac{20(m+1+3t)}{1+0,05t}$, $t\ge 0$ (ở đó $m$ là hằng số). Biết rằng số lượng cá thể của loài đó tại thời điểm khi bắt đầu thiết lập chính sách bảo vệ là 80 con.

Đáp án theo bảng đáp án mã đề 104, Phần II câu 2: SĐĐS (a) Sai, b) Đúng, c) Đúng, d) Sai).
a) Ta có $N^{\prime }(t)=\frac{20\left[3(1+0,05t)-0,05(m+1+3t)\right]}{(1+0,05t{)}^2}=\frac{20(3-0,05m-0,05)}{(1+0,05t{)}^2}$. Với $m=3$ thì $N^{\prime }(t)=\frac{56}{(1+0,05t{)}^2}>0$ với mọi $t\ge 0$, nên hàm số luôn tăng, không giảm dần. Ý a) sai.
b) Tại thời điểm bắt đầu thiết lập chính sách ($t=0$): $N(0)=20(m+1)=80\Rightarrow m+1=4\Rightarrow m=3$. Ý b) đúng.
c) Với $m=3$: $N(t)=\frac{20(4+3t)}{1+0,05t}=\frac{80+60t}{1+0,05t}$. Ta có $\underset{t\to +\infty }{\lim }N(t)=\frac{60}{0,05}=1200$ và $N(t)<1200$ với mọi $t\ge 0$ (vì $80+60t<1200+60t$). Vậy số lượng cá thể không bao giờ vượt quá 1200 con. Ý c) đúng.
d) Giải $\frac{80+60t}{1+0,05t}>500\iff 80+60t>500+25t\iff 35t>420\iff t>12$. Vậy cần ít nhất 12 năm (không phải 10 năm) để số lượng cá thể vượt mức 500 con. Ý d) sai.